第十三讲从三角形内角和谈起三角形的内角和等于180°也称一个平角是三角形的一个基本性质．从它出发可引出下面两个事实：1三角形的外角等于此三角形中与它不相邻的两个内角和．如图1－35所示．延长三角形的三条边，由三角形一条边
及另一条边的延长线所成的角称为该三角形的一个外角．如图1－35中的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6．由于∠1∠ABC180°平角，又∠BAC∠BCA∠ABC180°，所以∠1∠BAC∠BCA．同法可证∠3∠BAC∠ABC，∠5∠ABC∠ACB．2
边形的内角和等于
2×180°．如图1－36所示．以
边形A1A2A
的某一个顶点如A1为共同顶点，将这个
边形“分割成”
2个三角形△A1A2A3，△A1A3A4，，△A1A
1A
．由于每一个三角形的内角和等于180°，所以，这
2个三角形的内角和即
边形的内角和为
2×180°详证见后面例6．
f三角形内角和等于180°这个事实有着广泛的应用．例1如图1－37所示．平面上六个点A，B，C，D，E，F构成一个封闭折线图形．求：∠A∠B∠C∠D∠E∠F．分析所求的六个角分布在三个三角形中，但需减去顶点位于P，Q，R处的三个内角，由图形结构不难看出，这三个内角可以集中到△PQR中．
解在△PAB，△RCD，△QEF中，∠A∠B∠APB180°，①∠C∠D∠CRD180°，②∠E∠F∠EQF180°．③又在△PQR中∠QPR∠PRQ∠PQR180°．④又∠APB∠QPR，∠CRD∠PRQ，∠EQF∠PQR对顶角相等．①②③④得∠A∠B∠C∠D∠E∠F360°．
f说明依据图形的特点，利用几何图形的性质将分散的角集中到某些三角形之中，是利用三角形内角和性质的前提．例2求如图1－38所示图形中∠A∠B∠C∠D∠E的大小．分析如果我们注意力放在三角形内角和上，那么∠ABE∠ABO∠OBE，∠AEB∠AED∠OEB．而∠ABE，∠AEB属于△ABE，∠OBE，∠OEB属于△OBE，再注意到△OBE及△ODC中，因∠BOE∠COD对顶角，因而，∠D∠C∠OBE∠OEB．从而，可求出题中五角和．
解法1连接BE．在△COD中，∠C∠D∠COD180°．①在△ABE中，∠A∠ABE∠AEB180°．②①②得∠A∠C∠D∠COD∠ABE∠AEB360°．③又∠ABE∠ABO即为∠B∠OBE，∠AEB∠AEO即为∠E∠OEB．故③式可化为∠A∠B∠C∠D∠E
f∠COD∠OBE∠OEB360°．④由于∠COD∠BOE对顶角相等，在△BOE中∠COD∠OBE∠OEB∠BOE∠OBE∠OEB＝180°．由④得∠A∠B∠C∠D∠E180°．解法2如果我们注意到三角形外角的性质，结合图形图1－39会发现在△OCD中有∠1∠C∠D，△APE中∠2∠A∠E，在△BOP中∠1∠2∠B180°，从而有∠A∠B∠C∠D∠E180r