∠AOP＝60°，因为PA切圆O于P，所以OP⊥AP，在
AP23Rt△ADO中，OP＝＝＝2，故圆O的直径为4ta
∠AOPta
60°
答案4
考向一圆周角的计算与证明
f【例1】2018中山模拟如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，
则si
∠APB＝________审题视点连结AD，BC，结合正弦定理求解．解析连接AD，BC因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝90°
又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：
CD
si
∠DAC
＝
AD
si
∠ACD
＝
AD
si
∠ABD
＝
ABsi
∠ABD12＝AB＝3，又CD＝1，所以si
∠DAC＝si
∠DAP＝，所以cos∠DAP＝2si
∠ABD33
2又si
∠APB＝si
90°＋∠DAP＝cos∠DAP＝23答案223解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．【训练1】如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于
________．解析连接AO，OB因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr＝16π答案16π考向二弦切角定理及推论的应用【例2】如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于
2
E、F已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．
f审题视点先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线段之间的比例关系，从而求解．解析∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴＝又AE∥BC，∴＝，∴＝又AD∥BC，∴AB＝CD，∴AB＝CD，∴＝3015∴EF＝＝84答案1541圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线或半径或向弦弧两端画圆周角或作弦切角．【训练2】2018新课标全国如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
BEABACBC
EFBEAFAC
ABEFBCAF
CDEF5EF，∴＝，BCAF86
1∠ACE＝∠BCD；2BC＝BE×CD证明1因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD
2
f2因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故＝即BC＝BE×CD
2
BCCD，BEBC
高考中几何证明选讲问题二从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．【示例】2018天津卷如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1若CEr