的截距。
（Ⅰ）用a和
表示f
；（Ⅱ）求对所有
都有
f
1
33成立的a的最小值；f
1
1
（Ⅲ）当0a1时，比较
fkf2k与
k1


1
27f1f
的大小，并说明理由。4f0f1
a
a
，0，yx2【答案】（Ⅰ）解：由已知得，交点A的坐标为对求导得y2x。22
2
f∴抛物线在点A处的切线方程为y2a
x

a
2
，即
y2a
xa
。
∴f
a。（Ⅱ）由（1）知f
a，则


f
1
3成立的充要条件是a
2
31。3f
1
1
即知，a
2
31对于所有的
成立，特别地，
2时，取得到a17。当a17
3时
123123a
4
131C
3C
32C
331C
3C
32C
33

1212
3
5
22
52
31。2
当
0，1，2时，显然∴当a17时，
17


2
31。
f
1
3对所有自然数都成立。3f
1
1
∴满足条件的a的最小值是17。（Ⅲ）由（1）知f
a，则

fkf2ka
k1k1


1


k
1，a2k
f1f
aa
。f0f11a
下面证明：
k1

127f1f
。fkf2k4f0f1
首先证明：当0x1时，设函数gx
127x，3xx4
27812xx2x10x1，则gxxx。44322∵当0x时，g（x）0；当x1时，gx0，33
∴gx在区间（01）上的最小值gxmi
g0。∴当0x1时，gx≥0即得
23
127x。3xx4
3
f由0a1知0a1kN，∴
k
127ak。2kaa4
k
从
而

fkf2ka
k1k1


1
k
27
27aa
127aa
27f1f
1。ak4k141a41a4f0f1a2k
【考点】导数的应用、不等式、数列。【解析】（Ⅰ）根据抛物线yx
2
a
a
，0，进一与x轴正半轴相交于点A，可得A22

步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得f
a（Ⅱ）由（Ⅰ）知f
a，则

f
1
3成立的充要条件是a
2
31，3f
1
1

即知，a
2
31对所有
成立。当a17
3时，a
4
132
31；当
0，1，2时，
17


2
31，由此可得a的最小值。

（Ⅲ）由（Ⅰ）知f
a，证明当0＜x＜1时，
127r