两个要求表明，t1和u1应尽可能好的代表数据表X和Y同时自变量的成分t1对因变量的成分u1又有最强的解释能力。在第一个成分t1和u1被提取后，偏最小二乘回归分别实施X对t1的回归以及Y对u1的回归。如果回归方程已经达到满意的精度，则算法终止；否则将利用X被t1解释后的残余信息以及Y被t1解释后的残余信息进行第二轮的成分提取。如此往复，直到能达到一个较满意的精度为止。若最终对X共提取了m个成分t1，…，tm，偏最小二乘回归将通过实施yk对t1，…，tm，的
回归然后再表达成yk关于原变量x1，…，xm，的回归方程k12…q。
12计算方法推导为了数学推导方便起见首先将数据做标准化处理。X经标准化处理后的数
据矩阵记为E0E01，…，E0p
p，Yj经标准化处理后的数据矩阵记为
F0F01，…，F0q
p。
第一步记t1是E0的第一个成分，w1是E0的第一个轴，它是一个单位向量，
既w11。
ccc记u1是F0的第一个成分，u1F0
1。
1
是F0的第一个轴，并且
1。
1
3
f如果要t1，u1能分别很好的代表X与Y中的数据变异信息，根据主成分分析原理，应该有
Varu1max
Vart1max
另一方面，由于回归建模的需要，又要求t1对u1有很大的解释能力，有典型相关
分析的思路，t1与u1的相关度应达到最大值，既
r（t1，u1）max
因此，综合起来，在偏最小二乘回归中，我们要求t1与u1的协方差达到最大，既
Covt1，u1Vart1Varu1rt1，u1max
正规的数学表述应该是求解下列优化问题，既
maxw1c1
E0w1F0c1
st
ww
cc

1
11
1
11
cwc因此，将在w121和
21的约束条件下，去求
1
EF

1
00
的最大
1
值。
如果采用拉格朗日算法，记
wcwccEs1
F
00
1－
1
1
w1－1－

211－1
c对s分别求关于w1，1，
和
1
的偏导并令之为零，有
2
cEs
w1
F
00
1－21w10
12
cFs
c1
0
E0
w1
－2
2
0
1
13
ws－
1
1
w1－10
14
4
fccs－－10
2
11
由式1215可以推出
15
21

22

w
1
E

0
F0
c1

E0w1F0c1

记1

21

22

w
1
E

0
F0
c1
所以
1
正是优化问题的目标函数值
把式12和式13写成
E0F0c11w1
16
F0E0w11c1
17将式17代入式16有
18同理可得
E0F0F0E0w112w1
F0E0E0F0c112c1
19
可见w1是矩阵E0F0F0E0的特征向量对应的特征值为121是目标函数值它要求取最大值所以w1是对应于E0F0F0E0矩阵最大特征值的单位特征向量而另
一方面c1是对应于矩阵F0r