初中数学培优专题学习
专题08分式方程
阅读与思考
分母含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有直接去分母、换元法等．
在解分式方程中，有可能产生增根．尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根，挖掘隐含条件．
例题与求解【例1】若关于x的方程2xa＝－1的解为正数，则a的取值范围是______．
x2
（黄冈市竞赛试题）解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．
【例2】
已知
2x2x2
x11
x1

Ax
Bx2

C，其中A，B，C为常数．求A＋B＋C的值．x1
解题思路：将右边通分，比较分子，建立A，B，C的等式．
（“五羊杯”竞赛试题）
【例3】解下列方程：
（1）5x96x84x192x21；x19x9x6x8
（2）
x23x2x22x8

x23x2
x
49x

1112
；
（“五羊杯”竞赛试题）（河南省竞赛试题）
（3）
x2
＋

x
x1
2
＝3．
（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）
解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．
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【例4】（1）方程x1x8x2x7的解是___________．x2x9x3x8
（江苏省竞赛试题）
（2）方程
x2
13x

2

x2

15x

6

x2

17x
12

x
1
4
的解是________．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．
【例
5】若关于
x
的方程
2kx1

xx2
x

kx1x
只有一个解，试求
k
的值与方程的解．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解
题．
【例6】求方程1115的正整数解．xyz6
（“希望杯”竞赛试题）
解题思路：易知xyz都大于1，不妨设1＜x≤y≤z，则111，将复杂的三元不定方程转xyz
化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．
能力训练
A级
1．若关于x的方程ax110有增根，则a的值为________．x1
（重庆市中考试题）
2．用换元法解分式方程2x1x2时，如果设2x1＝y，并将原方程化为关于y的整式方程，
x2x1
x
那么这个整式方程是___________．
（上海市中考试题）
3．方程
x2

1x2

3

x

1x


4

0的解为____r