专题二十三
直线与圆锥曲线问题的解题策略（研究性学习之一）
众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题：（1）条件或目标的等价转化；（2）对于交点坐标的适当处理。本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。一、条件或目标的认知与转化解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为已经解过的题。然而，转化的基础是认知认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。1、化生为熟化生为熟是解题的基本策略。在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。一但转化成功，解题便得以驾轻就熟，胜券在握。（1）向弦中点问题转化
例1已知双曲线
1（a0b0）的离心率
，过点A（0b）和B（a0）的直线
与原点间的距离为（1）求双曲线方程；（2）若直线个圆上，求m的取值范围。略解：（km≠0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一
（1）所求双曲线方程为
（过程略）
（2）由
消去y得：
由题意知，当
时，
①
设则C、D均在以A为圆心的同一圆上
中点
又
f∴
②
于是由②得
③
由②代入①得
，解得m0或m4
④
于是综合③、④得所求m的范围为（2）向弦长问题转化
例2．设F是椭圆足（1）求点P的轨迹C2的方程；
的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满
（2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列，求使成立的直线l的方程。分析：为避免由代换引发的复杂运算，寻觅替代的等价条件：设弦AD、
BC的中点分别为O1、2，故O则，是，所给问题便转化为弦长与弦中点问题。略解：
，据此得
于
椭圆C1的中心
点P分
所成的比λ2。
（1）点P的轨迹C2的方程为（2）设直线l的方程为
（过程略）①
①代入椭圆C1的方程得
，
f故有
故弦AD中点O1坐标为
②
①代入椭圆C2的方程得
，
又有
故弦BC中点O2坐标为
③
∴由②、③得
④
注意到
⑤
于是将②、③、④代入⑤并化简得：
由此解得
。
因此，所求直线l的方程为2．化r