32任意角的三角函数
教材分析
这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上进一步学习任意角的三角函数任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念也是学习后续内容的基础更是学好本章内容的关键因此要重点地体会理解和掌握三角函数的定义在此基础上这节课又进一步研讨了三角函数的定义域函数值在各象限的符号以及诱导公式一这既是对三角函数的简单应用也是为学习后续内容做了必要准备
教学目标
1让学生认识三角函数推广的必要性经历三角函数的推广的过程增强对数的理解能力2理解和掌握三角函数的定义在此基础上探索与研究三角函数定义域三角函数值的符号和诱导公式一并能初步应用它们解决一些问题3通过对任意角的三角函数的学习初步体会数学知识的发生发展和运用的过程提高学生的科学思维水平
任务分析
在初中我们只是学习了锐角三角函数现在学习的是任意角的三角函数定义的对象从锐角三角函数推广到任意角的三角函数从四种三角函数增加到六种三角函数定义的媒介则从直角三角形改为平面直角坐标系为了便于学生体会和理解突出定义适用于任意角通常要把终边出现在四个象限的情况都画出来注意表示角时不用箭头学习时必须弄清并强调这六个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关
只与角的大小有关即它们都是以角为自变量以比值为函数值的函数符合函数的定义从而归纳和总结出任意角的三角函数的定义对于三角函数的定义域函数值在各象限内的符号和诱导公式一可放手让学生探索研究讨论和归纳用以培养学生的数学思维能力
教学设计
一情景设置
f了当α
初中我们学习过锐角三角函数知道它们都是以锐角为自变量由其所在的直角三角形的对应边的比值为函数值并且定义角α的正弦余弦正切余切的三角函数这节课我们研究是一个任意角时的三角函数的定义
在初中三角函数的定义是借助直角三角形来定义的如图321在Rt△ABC中
现在把三角形放到坐标系中如图322设点B的坐标为xy则OCbxCBayOB从而
即角α的三角函数可以理解为坐标的比值在此意义下对任意角α都可以定义其三角函数二建立模型一般地设α是任意角以α的顶点O为坐标原点以角α的始边的方向作为x轴的正方向建立直角坐标系xOyPxy为α终边上不同于原点的任一点如图
那么OP
记作rr0
f对于三个量xyr一般地可以产生六个比值
当α确定
时根据初中三r