幂函数的图像与性质
1、幂函数的定义形如yxα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
例题、1下列函数中不是幂函数的是（）
A．yx
B．yx3C．y2x
D．yx1
答案：C
例2．已知函数fxm2m1x5m3，当m为何值时，fx：
（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是0上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反
比例函数；（5）是二次函数；
简解：（1）m2或m1（2）m1（3）m4（4）m2（5）m1
5
5
变式训练：已知函数fxm2mxm22m3，当m为何值时，fx在第一象限内它的
图像是上升曲线。
简解：
m2
m
2

m02m3

0
解得：
m
1
3
小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。
2幂函数的图像
幂函数y＝xα的图象由于α的值不同而不同．
α的正负：α＞0时，图象过原点和11，在第一象限的图象上升；α＜0，图象不过
原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；
f1
注：在上图第一象限中如何确定yx3，yx2，yx，yx2，yx1方法：可画出xx0；
1
当x01时，按交点的高低，从高到低依次为yx3，yx2，yx，yx2，yx1；
1
当0x01时，按交点的高低，从高到低依次为yx1，yx2，yx，yx2，yx3。
3、幂函数的性质
yx
yx2
yx3
1
yx2
yx1
定义域
R
R
R
0，）xxR且x0
值域
R
0，）
R
0，）yyR且y0
奇偶性单调性
奇
偶
奇
增
x∈0，）时，增；增
x∈0时，减
非奇非偶增
奇x∈0时，减；x∈0时，减
定点
（1，1）
例2．比较大小：
1
1
（1）152172（2）1231253（3）525152615262（4）053305log305
1
1
1
解：（1）∵yx2在0上是增函数，1517，∴152172
f（2）∵yx3在R上是增函数，12125，∴1231253（3）∵yx1在0上是减函数，525526，∴52515261；∵y526x是增函数，12，∴52615262；综上，525152615262（4）∵00531，3051，log3050，∴log305053305
5幂函数的性质及其应用
幂函数y＝xα有下列性质：1单调性：当α＞0时，函数在0，＋∞上单调递增；当
r