高二数学同步辅导教材第13讲
一本章主要内容82椭圆的简单几何性质课本第97页至第103页二本讲主要内容1椭圆的第二定义圆锥曲线的统一定义2椭圆的简单几何性质3椭圆的参数方程三学习指导1根据曲线的条件求出其对应的方程根据曲线的方程特征研究它的几何性质是解析几何的基本问题前者是手段后者是目的本节的椭圆方程是在以椭圆两个焦点的中点为原点以对称轴所在直线为坐标轴这个坐标系下推导出来的2两个定义的统一性教材P100例4是椭圆的第二定义它同时又是圆锥曲线的统一定义它与第一定义是统一的联系如下教材第93页自上而下第七行为
a2cxaxc2y2
接下来作如下整理
acxxc2y2a
∴
ca2xxc2y2ac
∴
xc2y2axc
2

ca
xc2y2表示动点M与右焦点F2的距离a2a2x表示直线x到点M的距离cc
图见课本第100页例4图用文字语言表述即为第二定义当涉及到椭圆上的点到焦点距离时通常用第一或第二定义去转化降低运算量利用第二定义可得焦半径焦点与椭圆上点连线长度设椭圆上点P坐标为x0y0当焦点在x轴上时左焦半径raex0右焦半径raex0当焦点在y轴上时上焦半径raey0下焦半径raey0注当点P为长轴端点时焦半径分别取得最大和最小值4椭圆的性质1几何性质①位置关系中心是两焦点顶点的中点两准线关于中心对称焦点在长轴上长轴与准线垂直对称性具有轴对称和中心对称②数量关系主要是距离的不变性两焦点长轴两个顶点短轴两个顶点之间距离始终为2c2a
f2b两准线之间距离为2③离心率e
a2b2焦点到对应准线距离焦准距p等等cc
c0e1a
222
④基本图形中心短轴顶点焦点构成直角三角形三边关系满足abc2解析性质与坐标系的选取有关如下图
方程
x2a2

y2b2
1ab0
x2b2

y2a2
1ab0
焦点±c0顶点±a00±b准线x±
a2c
0±c0±a±b0y±
a2c
4直线与椭圆的位置关系有三种相离相交相切与直线和圆的位置关系类似判断方法是判别式△法当直线与椭圆相交时设直线与椭圆
x2a2y2b21ab0相交于AB两点AB中点为Mx0
y0对于与中点有关的问题通常有两种途径1列方程用韦达定理2点差法有结论kAB不管是哪一种途径都体现了设而不求的思想5椭圆椭圆
x2a
2
b2x0a2y0


xacosθ1ab0的参数方程为θ为参数bybsi
θy2
2
x2b
2
y2a
2
xbcosθ1ab0的参数方程为θ为参数yasi
θx2y21上运动求PA2PB的最小值r