第十届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准（非数学类，2019年3月30日）一、填空题（本题满分30分，每小题6分）
1、设函数
在点
在处连
续，则答案：2、设
的值为
则
答案：的的交线，则
3、设曲线L是空间区域表面与平面
答案：4、设函数由方程确定，其中
具有连续二阶偏导数，则
答案：
f5、已知二次型则的规范形为二、设在区间答案：内三阶连续可导，满足
，又设数列
，
满足
严格单调减少且计算【解】由于有Taylor公式在区间（11）内三阶可导，在处
又分数列严格单调且①
，所以
由于，则，且
为严格单调增加趋于正无穷的数列，注意到，故由Stolz定理及①式，有分
f分三、设在上具有连续导数，且
证明：对于【证明】令上严格单调增加，记
成立则的反函数为故函数，则在定义在
上，且
4分
于是
根据积分中值定理，存在
使得
分因此
f注意到
则
即
分四、计算三重积分：，其中
【解】采用“先二后一”法，并利用对称性，得其中分用极坐标计算二重积分，得
f交换积分次序，得分作变量代换并利用对称性，得
所以五、求级数【解】级数通项

分之和
令分则收敛区间为其中因为
所以
满足
f解这个一阶线性方程，得
由且
得
故
所以
分六、设A是
阶幂零矩阵即满足且证明若A的秩为r，其
则存在
阶可逆矩阵P，使得
中为r阶单位矩阵【证】存在
阶可逆矩阵HQ，使得所以有对QH作相应分块为则有分因为
因此而所以
分
f显然，因为令
所以所以存在可逆矩阵则有
为行满秩矩阵使得
8分分
分七、设实数列，级数为单调递减的正实数列收敛，证明：为一
【证】由于
，使得当
收敛，所以对任意给定时有
，存在自然数
因为
单调递减的正数列，所以分
注意到当
时，有
令
得到分
f下面证明：对于任意自然数
，如果
满足
则有
事实上
即得到分
利用（2），令即又由
可以得到分知，存在自然数，使得分
取
则当
时，有
因此
分
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