222
三、（本题满分50分）设kN，定义A11，A
1

A
2
1
2
2k
，
12
证明：当
1时，A
为整数，且A
为奇数的充要条件是
1或2mod4
四、（本题满分50分）试求最小的正整数
使得对于任何
个连续正整数中，必有一数，其各位数
字之和是7的倍数
2012模拟卷（1）
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f2012年全国高中数学联赛模拟卷1答案
1．由112x0得x故原不等式的解集为
434312x0，原不等式可变为1

12x

2
2x9解得x
458

1
450U028
2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且②⑤可以截得3．提示：2
2曲线为两个半圆，直线过定点（0，2），数形结合可得
4．答案：0，1，12i12i
解：zz2z
3
2
2
2zz，∴zz12z0
2
当z0时，满足条件，当z0时，z12z0设zabiabR则ab2abi12abi
22
∴
a2b212a02ab2b02
1
，由22ba10
2
1）b0代入1整理得：a10a12）b0，则a1代入1得：b4b2，经检验复数z112i均满足条件
2
∴z的所有可能值为0，1，12i12i5．解：显然ab1．由条件得aa
aba1
b
b1
ab
a1a1
b1
ab
2
b1
1，从而有abbb
baba
即babb，再结合条件及以上结果，可得a
aabaa
aa1
b
b1
ababaabb，整理得
a1
b
b1
a
a1
ab
b1
a
，从而aaaa1aaba
即a
a3
1，所以2a3．当a2时，b1，不符合；当a3时，b2（b1不符合）．
2综上，满足本题的正整数对ab只有3，，故只有1解．
6．答案：
3k13k21k1k2
，由题意，x3k1xk2xaxbxc由此可得
abc0，abbccak1，abck2以及1k1k21a1b1c
1a1a1b1b1c1c3abcabbcca3abc1a1b1c
3k13k21k1k2
7．提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为9281个，由不等式a2b100得r