在进行了m次迭代后，以得到的最后迭代结果xm作为初始点重新进行Ar
oldi变换，当残余向量rAbx满足rTAr0时，
终止计算。综合考虑时间和空间复杂度，重启型的GMRES算法更适合。
重启型GMRES算法：
（1）计算r0bAx0
r0r0
12
v1

r0
（2）生成mAr0的一组标准正交基，得到Hm
（3）求
ym

argmi
z
e1

Hmz
，计算
2
xm

x0
Vmym
，若
xm
满足精度要
求，则停止，否则置x0xm，转（1）
同样可以采取不完全正交的方法，在正交化过程中vj1仅与最近k
个vjk1vj1vj正交就能得到QGMRES方法。为了避免存储
v1v2vmk，可以对Hm进行QR分解这种算法被称为DQGMRES。QGMRES算法：
f（1）计算r0bAx0
r0r0
12
v1

r0
（2）计算wjAvj
（3）对imax1jk1
，计算与j
hijwjvi
wjwjhijvi
（4）计算hj1j，若hj1j0，则置mj，转（6）
（5）计算vj1，若jm，则置jj1，转（2）
求，计算（6）
ym

argmi
z
e1

Hmz
2
xmx0Vmym
Krylov子空间方法解矩阵特征值问题
Ar
oldi方法求解非对称矩阵特征值
由定理：AVmVmHmwm
em
T
Vm1Hm
VmTAVmHm
而wmhm1mvm1，则有如下结论：（1）若hm1m0，则mAv是A的不变子空间，从而Hm的所有特征值是A的特征值子集。
（2）若hm1m0，则Hm的特征值对是iyi，即Hmyiiyi，由上述定理
可得：AVmyiiVmyihm1mvm1emTyihm1memTyi
以上讨论说明可以用Hm的特征值又称Ritz值来近似A的特征值用向量xiVmyi又称Ritz向量来近似相应的特征向量事实上Hm为A在Krylov子空间上的正交投影
由于Hm是上Hesse
berg阵，它的特征值求解难度远小于原问题例如可以采取分解法来求解求解矩阵特征值的Ar
oldi方法：（1）给定m，取向量v1，满足v11j1
f（2）计算wjAvj
（3）依次对i12j，计算hijwjvi与wjwjhijvi
（4）计算hj1j，若hj1j0，则停止，否则计算vj1（5）若jm，则jj1，转（2）
（6）计算Hmhij的特征值对iyi及A关于i的Ritz向量xiVmyi
Ar
oldi算法构造标准正交基存在的问题：
1需要存储所有的基向量当m很大时存储量大
2理论上为了保证收敛速度m越大越好
La
czos方法求解对称矩阵特征值
A是对称阵时Hm是三对角阵，仍然采用Hm的特征值来近似A的特征值，相应的Ritz向量来近似A的特征向量
问题转化为三对角阵特征值的求解问题，而它的求解，复杂度大
大减小，有很多成熟的办法，如分而治之法，QR法等，可以在并行
机上达到tOlogN的量级
求解对称矩阵特征值的La
czos方法：
（1）计算rr