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高等代数
一、填空题（共10题，每题2分，共20分）
1．只于自身合同的矩阵是
矩阵。
2．二次型
f
x1
x2

x1
x2

311
76


x1x2

的矩阵为__________________。
3．设A是实对称矩阵，则当实数t_________________tEA是正定矩阵。
4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。
7．在P22中定义线性变换
为：
X

a


c
b
d

X
，写出在基E11E12E21E22下的
矩阵_______________________________。
8．设V1、V2都是线性空间V的子空间，且V1V2，若dimV1dimV2，则
_____________________。
9
．
叙
述
维
数
公
式
_________________________________________________________________________。
10．向量在基12
（1）与基12
（2）下的坐标分别为x、y，且从基
（1）到基（2）的过渡矩阵为A，则x与y的关系为_____________________________。
二、判断题（共10题，每题1分，共10分）
1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（
）
2．设为
维线性空间V上的线性变换，则V10V。（）
3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（）
4．设V1与V2分别是齐次线性方程组x1x2x
0与x1x2x
的解空间，则
V1V2P

（）
5．


xi2




2
xi

为正定二次型。（
）
i1
i1
6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（）
7．把复数域C看作复数域上的线性空间，C，令，则是线性变换。（）
8．若是正交变换，那么的不变子空间的真正交补也是的不变子空间。（）
9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（）
10．若为Px
1中的微分变换，则不可对角化。（）

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三、计算题（共3题，每题10分，共30分）
122
1．设线性变换
在基123下的矩阵为
A


2
1
2

，求
的特征值与特征向量，并
221
判断是否可对角化？2．t取什么值时，下列二次型是正定的？
fx1x2x3x12x225x322tx1x22x1x34x2x3
a11a12a13
3．设三维线性空间V
上的线性变换
在基123r