中学生物理竞赛复赛试卷
本卷共8题，满分160分。
一、（17分）设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖
水表面恰好相接触。已知湖水密度为；物块边长为，密度为，且。
在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。
解：由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称系设物块下底面的坐标为，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为
fbb2xg
xb
1
式中g为重力加速度物块的重力为
fgb3g
2
设物块的加速度为，根据牛顿第二定律有
b3afgfb
3
将1和2式代入3式得
a


gb

x


b

4
将系坐标原点向下移动b而建立新坐标系，简称X系新旧坐标的关系
为
Xxb
5

把5式代入4式得
agX
6
b
6式表示物块的运动是简谐振动若X0，则a0，对应于物块的平衡位置
由5式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在系中的坐标为
x0b
7
物块运动方程在X系中可写为
XtAcost
8
利用参考圆可将其振动速度表示为
VtAsi
t
9
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f式中为振动的圆频率
gb
10
在8和9式中A和分别是振幅和初相位，由初始条件决定在物块刚被释放时，即t0时刻有x0，由5式得
X0b
11

V00
12
由8至12式可求得
Ab
13

14
将10、13和14式分别代人8和9式得
Xtbcost
15

Vtgbsi
t

16
由15式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的
运动始终由15表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没
在湖水中若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力
变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所
需的时间也就不再全由振动的周期决定为此，必须研究物块可能完全浸没
在湖水中的情况显然，在系中看，物块下底面坐标为时，物块刚好被完全
浸没；由5式知在X系中这一临界坐标值为
X

Xb

1


b
（17）
即物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下Xb处注意到在
振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠A，r