一、填空题（共21分每小题3分）
1．曲线
z

y2
1绕z
轴旋转一周生成的旋转曲面方程为z

x2

y2
1．
x0
x3t
2．直线L1

x22

y45

z3
与直线
L2


y

1

3t
z27t
的夹角为
2
．
3．设函数fxyzx22y23z2，则gradf111246．

4．设级数
u

1
收敛，则
lim

u


0．
5．设周期函数在一个周期内的表达式为
f
x

01
x
0

xx
0
则它的傅里叶级数在x处
收敛于1．2
6．全微分方程ydxxdy0的通解为xyC．
7．写出微分方程yy2yex的特解的形式yaxex．
二、解答题（共18分每小题6分）
1．求过点
1

2
1
且垂直于直线
xx

2yyz
z3020
的平面方程．

ij解：设所求平面的法向量为
，则
12
k
1123
111
4分
所求平面方程为x2y3z0
6分
2．将积分fxyzdv化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面

z2x2y2及zx2y2所围成的区域．
解：rz2r20r102
3分
2
1
2r2
fxyzdv0d0rdrrfrcosrsi
zdz

6分
f3．计算二重积分Iex2y2dxdy，其中闭区域Dx2y24
D
解
I
2d
e2r2rdr1
2d
e2r2dr212
2
d
e
r
2
1e4
0
0
20
0
2
0
三、解答题（共35分每题7分）
1．设zuev，而ux2y2，vxy，求dz．
解：zzuzvev2xuevyexy2xx2yy3xuxvx
3分
zzuzvev2yuevxexy2yx3xy26分yuyvy
dzexy2xx2yy3dxexy2yx3xy2dy
7分
2．函数zzxy由方程ezxyz0所确定，求zz．xy
解：令Fxyzezxyz，
2分
则FxyzFyxzFzezxy
5分
zx

FxFz

ez
yz，xy
zy
FyFz

xz．ezxy
7分
3．计算曲线积分ydxxdy，其中L是在圆周y2xx2上由A20到点O00的有L
向弧段．
解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段OA围成的闭区域记为D，根据格林
公式
Lydxxdy2dxdyOAydxxdy
D
5分
202
7分
4．设曲线积分exfxydxfxdy与路径无关，其中fx是连续可微函数且满足f01，L
求fx．
f解：由PQ得exfxfx，yx
即fxfxex
3分
所以fxe1dxexedxdxCexxC，
6分
代入初始条件，解得C1，所以fxexx1．
7分
5．判断级数
2的敛散性．
12

解：因为limu
1lim
12
2
u
2
22

3分
lim
1211
2
22
14
6分
故该级数收敛．
7分
四、（7分）计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy，其中是上半球

面z1x2y2的上侧．
解：添加辅助曲面1z0x2y21r