迭代法求解线性方程组的研究
【摘要】本文总结了解线性方程组的三个迭代法，Jacobi迭代法，Gaussseidel迭代法，SOR迭代法，并且介绍了现代数值计算软件MATLAB在这方面的应用，即分别给出三个迭代法的数值实验。【关键字】Jacobi迭代法Gaussseidel迭代法SOR迭代法数值实验
一．引言迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。设有方程组
Axb
将其转化为等价的，便于迭代的形式
…①…②
xBxf这种转化总能实现，如令BIAfb
并由此构造迭代公式
xk1Bxkf
式中B称为迭代矩阵，f称为迭代向量。对任意的初始向量x
k
…③
0
，由式③可求得向量序列
xk，若limxkx，则x就是方程①或方程②的解。此时迭代公式②是收敛的，否则称0
为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B的性质。本文介绍三种解线性方程组的最主要的三种迭代法：Jacobi迭代法，GaussSeidel迭代法和SOR迭代法。本文结构如下：第二部分介绍Jacobi迭代法及其数值实验，第三部分介绍GaussSeidel迭代法及其数值实验，第四部分介绍SOR迭代法及其数值实验，第五部分总结。
二．雅克比（Jacobi）迭代法1雅克比迭代法的格式设有方程组
1
fa
j1


ij
xjbji123

…①
矩阵形式为Axb设系数矩阵A为非奇异矩阵，且aii0i123
从式①中第i个方程中解出x，得其等价形式
xi
取初始向量x
0
1baii
j1j1
a


ij
xj
…②
x10x20x
0，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式：
xik1
也可记为矩阵形式：

1aijxjkbiaiij1j1
…③
xk1BJx
k
FJ
…④
若将系数矩阵A分解为ADLU，式中
a11a22D，a

0a210a，L31a320a
1a
2a
10
0a120D
则方程Axb变为得于是
a13a230
a1
a2
。a
1
0
DLUxbDxLUxb
xD1LUxD1b
2
fD1DAxD1bID1AxD1b
于是式中④中的
BJID1AfJD1b。
式③和式④分别称为雅克比迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程计算，矩阵型式用于讨论迭代r