《计算方法》平时作业
（20102011学年第一学期）
学专姓学
机械工程学院院：_________________________机研111班业：_________________________名：_________________________号：_________________________
联系方式：_________________________
f作业考试前交给出证明或计算过程、计算程序及计算结果1对向量xx1
x2x
定义
T
x1xk
k1


x

maxxk
1k

x2
x
k1


2k
设A是
矩阵，规定
A1maxAx1，AmaxAx
x11x

1

，A2maxAx
x21
2
证明
A1maxakj列范数A
1j
k1

maxajk行范数
1j
k1


A2
是AA最大特征值
T
证明：1）证明A1maxaij
1j
i1

AX1maxaijximaxaijximaxaijx1maxaij
1j
i11j
i11j
i11j
i1






所以
A1maxAx1maxaij
x111j
i1



设maxaijaip取xi1若aip0取xi1若aip0则x11
1j
i1
i1
且aipxiaip。因此，
i1i1


Ax1maxaijxiaipxiaipmaxaij
1j
i1i1i11j
i1






即
A1maxAx1maxaij
x111j
i1


则
A1
1j

maijax
i1



f2）证明Amaxaij
1i
j1


AX
1i

maiajxjx
j1


1i
axajjmxi
1j


1i



j1
maixajx
1



i
j1
aimaxj


所以
A

x
maAxx
1

i
1
maax
j1ij




设maxaijapj取xj1若apj0取xj1若apj0则x1
1i
j1
j1
且apjxjapj。因此，
j1j1


Axmaxaijxjapjxjapjmaxaij
1i
j1j1j11i
j1






即
A
x
maAxx
1
i
1
maax则ij
j1


A
1i

maijax
j1



3）证明A2因为矩阵ATA是对称正定或半正定，其所有特征值不小于0，所以其max存在。
由于，Ax2AxAx
12
xTATAx
12
由二次型极性可知，xTATAx即Ax2，证毕max
x21
f2用简单迭代法（即不动点迭代法）求方程
x32x210x2r