第二讲椭圆的简单几何性质
一椭圆的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程
以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线xa和yb所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x
x2y21ab0：是a2b2
a，yb。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
x2y2②椭圆221ab0与坐标轴的四个交点即为椭圆ab的四个顶点，坐标分别为A1a0，A2a0，B10b，B20b。③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，A1A22aB1B22b。a和b分别叫做椭圆的长半
轴长和短半轴长。（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e
2cc。2aa
②因为ac0，所以e的取值范围是0e1。e越接近1，则c就越接近a，从而因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，ba2c2越小，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ab时，c0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为xya。
22
例1求椭圆
x2y21的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标259
例2已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA
2，求椭圆方程3
f（5）椭圆的第二定义：椭圆上的点到某焦点的距离与该点到该点对应的准线的距离的比为椭圆的离心率。即下图中有
PF1PM1

PF2PM2
e
a2准线方程：xc
二求椭圆的离心率
cbb2椭圆的离心率e11eaaa
例3（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为63的两段，求其离心率；（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率
2
例4已知椭圆
x2y21（a0b0）的左焦点为F，右顶点为A，，上顶点为B，若a2b2
BFBA，则称其位“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率是
f例5设椭圆上存在一点P，它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率的取值范围
例6设M为椭圆
x2y21（ab0上一点，F1F2为椭圆焦点，若MF1F275°，a2b2
MF2F115°，求椭圆的离心率
三直线与椭圆的位置关系
（1）平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上，椭圆内，椭圆外，任给一点Mxy，
若点Mxy在椭圆上，则有
x2y2r