数列性质集锦
一、等差数列的性质：
若数列a
是公差为d的等差数列，则有下列性质：（1）d0a
是递增数列；d0，a
是递减数列；d0，a
是常数列。
（2）da
a1amakm
kN。
1mk
（3）a
am
mdm
N。
（4）若m
pq，则ama
apaqm
pqN。
（5）若m
2

k则am
a


2akm
kN。
（6）a
是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，
即a1a
a2a
1aia
i1。
（7）数列a
bb是常数是公差为d的等差数列。
（8）下标成等差数列且公差为m的项akakmak2mkmN组成公差为md的等
差数列。
（9）若b
也为等差数列，则a
b
ka
b
k为非零常数也是等差数列。
（10）a
是等差数列，则a1a3a5仍成等差数列（首项不一定选a1）。
（11）a
是等差数列，则a1a2a3a4a5a6a7a8a9仍成等差数列。
（12）等差数列a
依次取k项之和仍成等差数列，其公差为原公差的k倍。
（13）若等差数列的项数为2
N，则S2
a
a
1a
a
1为中间两项且
S偶
S奇

dS偶S奇

a
1a

，若项数为2
1项，则S2
1

2
1a
a
是中间项，且
S奇
S偶

a


S奇S偶




1
S奇

a
S偶

1a

二、等比数列的性质：
f（1）公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m，所得数列仍是等比数列，公比仍为q。（2）若数列a
是等比数列，则有a
amq
mm
N。
（3）若a10q1，则a
为递增数列；若a10q1，则a
为递减数列；若
a100q1，则a
为递减数列；若a100q1，则a
为递增数列；若q0，
则a
为摆动数列；若q1，则a
为常数列。（4）公比为q的等比数列，从中取出等距离的项组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为qm（m为等距离的项数之差）。（5）m个等比数列，它们的各对应项之积组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为原各
数列公比之积。
（6）在等比数列a
中，若m
pk，则有ama
apak。
（7）等比数列连续k项的和仍为等比数列，即SkS2kSkS3kS2k，仍为等比数列，公
比qk。
（8）在等比数列中，若项数为2
（
N），则S偶数qS奇数；项数为2
1，
S奇数a1qS偶数。
（9）S
mS
q
Sm
、mN。
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