离散型随机变量的期望值和方差
一、基本知识概要：1、期望的定义：一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为ξPx1P1x2P2x3P3x
P

则称Eξx1P1x2P2x3P3x
P
为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。若ηaξba、b为常数，则η也是随机变量，且EηaEξb。Ecc特别地，若ξ～B
，P，则Eξ
P2、方差、标准差定义：Dξx1Eξ2P1x2Eξ2P2x
Eξ2P
称为随机变量ξ的方差。Dξ的算术平方根Dδξ叫做随机变量的标准差。随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。且有Daξba2Dξ可以证明DξEξ2Eξ2。若ξ～B
，p，则Dξ
pq，其中q1p3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。二、例题：例1、（1）下面说法中正确的是（）A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。解：选C说明：此题考查离散型随机变量ξ的期望、方差的概念。（2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是。解：含红球个数ξ的Eξ0×
1631×2×12101010
说明：近两年的高考试题与《考试说明》中的“了解，会”的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。考生往往会因对题意理解错误，或对概念、公式、性质应用错误等，导致解题错误。例2、设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E、D

P
－1
01－2q
1
12
q2
剖析：应先按分布列的性质，求出q的值后，再计算出E、D。
12212qq1解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以012q1q21
f解得q1
2。2
于是，的分布列为

P所以E＝（－1）
－1
0
1
12
21
322
130211212，2222132D＝112122111222122




说明：解答r