一二维形式的柯西不等式
课时作业
A组基础巩固1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是
A．－25，25
B．－210，210
C．－10，10
D．－5，5解析：∵a2＋b2＝10，∴a2＋b212＋12≥a＋b2，
即20≥a＋b2，∴－25≤a＋b≤25
答案：A
2．函数y＝22－x＋2x－3的最大值是
A．3
3B．2
C3
D．4
解析：y2＝2×2－x＋2×
≤22＋22
2－x2＋
x－322x－322＝6×12＝3，
当且仅当2x－32＝22－x，
即x＝53时等号成立．
∴y的最大值为3
答案：C
3．如果实数m，
，x，y满足m2＋
2＝a，x2＋y2＝b，其中a，b为常数，那么mx＋
y的最
大值为
Aa＋2b
B．ab
a2＋b2
C
2
a2＋b2D．2
解析：由柯西不等式，得mx＋
y2≤m2＋
2x2＋y2＝ab，当m＝
＝
a2，
x＝y＝b2时，mx＋
ymax＝ab
1
f答案：B
4．若a＋b＝1，则a＋1a2＋b＋1b2的最小值为

A．1
B．2
25C2
7D．2
解析：a＋1a2＋b＋1b2＝a2＋2＋a12＋b2＋2＋b12
∵a＋b＝1，
∴a2＋b2＝12a2＋b21＋1
≥12a＋b2＝12，
112
8
又a2＋b2≥ab≥a＋b2＝8，
以上两个不等式都是当且仅当a＝b＝12时，等号成立
∴a＋1a2＋b＋1b2
1
25
≥2＋2＋2＋8＝2，
当且仅当a＝b＝12时等号成立，取到最小值225
答案：C
5．若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形，则长方形ABCD周长的最大值为
A．2R
B．22R
C．4R
D．42R
解析：如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为4R2－x2，于是ABCD的周长l＝2x＋4R2－x2＝21×x＋1×4R2－x2．由柯西不等式得l≤2x2＋4R2－x21212＋1212
2
f＝2×2R×2＝42R
当且仅当x1＝4R2－x21，
即x＝2R时等号成立．
此时4R2－x2＝4R2－2R2＝2R，
即四边形ABCD为正方形，故周长为最大的内接长方形是正方形，其周长为42R答案：D
6．若存在实数x使3x＋6＋14－xa成立，常数a的取值范围为________．
解析：3x＋6＋14－x＝3×x＋2＋1×14－x，
由柯西不等式得3×x＋2＋1×14－x2≤3＋1x＋2＋14－x＝64，
所以3x＋6＋14－x≤8，当且仅当x＝10时取“＝”，于是，常数a的取值范围是－∞，8．答案：－∞，87．设xy0，则x2＋y42y2＋x12的最小值为________．
解析：原式＝x2＋y22x12＋y2
≥x1x＋2yy2＝9
答案：9
8．设实数x，y满足3x2＋2y2＝6，则2x＋y的最大值为________．
解析：∵
22＋3
12
23x2＋2y2≥2x＋y2，
∴2x＋y≤
116
x2＋2r