aiXi

a22iXii1
公式（5）可以写成：
i123




YiYcosYiYi0
i1
i1
（5）（6）

公式（6）表示的是一法线式的直线方程，cosYi为法线与坐标轴夹角余弦cosYi1i1
Y2
y1y2
y
1

y
2

cosY2
OcosY1
Y1
图2可靠度指标的几何意义及验算点
验算点在Y空间（标准正态空间）表示为：y
y1

y
2

y3
y


在X空间表示为：xx1x2x3x

两者之间的关系为：xiXiXiyi
i123

根据几何关系有：yiYicosYi
i123

在X空间，验算点坐标值：xiXiXiYiXiXicosYi
i123

通常表示为：xiXiXiXiXiXicosXi
22功能函数为线性函数
i123

f假定随机变量X1X2X
服从正态分布，但结构功能函数不再是线性函数，显然，
这时精确求解Z的平均值和标准差是非常困然的。同结构功能函数为非线性的情形一样，
如果将可靠指标定义为标准正态坐标系中坐标原点到极限状态曲面的距离，垂足为验算点，则不管结构极限状态方程的数学表达形式如何，只要具有相同的力学或物理含义，在标准正态坐标系中，所表示的都将是同一个曲面，曲面上与坐标原点距离最近的点也只有一个。因而，所得到的可靠指标是唯一的，不像中心点法那样，随结构极限状态方程数学表达式的形式而变。
Y2
y
1

y2

O
Y1
图3验算点取法
如果验算点已知xx1x2x3x

可以在该点一次项展开：
ZL
gX
x1x2x3x

gXxi1Xi
Xixi
其均值和标准差为：
ZLEZL
gX
x1x2x3x

gXxi1Xi
EXixi
gX
x1x2x3x

gXxi1Xi
Xixi
ZLEZLEZL




gX
x
gX
xE
i1j1Xi
Xj
XiEXi
XiEXi


i1

gXX
x
i
2


X
i

所以可靠度指标：
fZL
ZL
gXx1x2x3x


gXxi1Xi
Xixi

i1

gXX
x
i
2


X
i

实际上验算点不可知，需要补充条件：
xiXiXicosXi
对比表达式得到：
i123

cosXi
gXx
Xi
Xi
2

j1

gXX
x
j


X
j

i123

23编程算例
假定结构功能函数为ZgXX1X2X1X21000。随机变量X1X2的平均值和标
准差分别为X138，X138，X254，X254，均服从正态分布。用验算点法
就算可靠指标和失效概率Pf，允许误差取103
231算法分析
1）假定验算点，一般取x0X1X2X

所以
x01
X1

38
，
x02
X2
54
2）计算
ZLgX
x1x2x3x

gXxi1Xi
Xixi
ZL



g
X
x
i1Xi
2


Xi

功能函数对
X
1
X
2
的一阶偏导数为
gXX
x
1

x2
，
gXxX2
x1r