习题一1判断下列集合对指定的运算是否构成R上的线性空间

（1）V1Aaij
aii0，对矩阵加法和数乘运算；i1
（2）V2AAR
ATA，对矩阵加法和数乘运算；
（3）V3R3；对R3中向量加法和如下定义的数乘向量：R3kRk0；
（4）V4fxfx0，通常的函数加法与数乘运算。
解：（1）、（2）为R上线性空间
（3）不是，由线性空间定义，对0有1，而题（3）中10
（4）不是，若k0，则kfx0，数乘不满足封闭性。
2求线性空间VAR
ATA的维数和一组基。
解：一组基
1

0
0

1
0

0
01


1
0
01

0
0

0
1

dimW



0

0

0

0
10

0






L






L


L



























0
0
1
0
01
0

12
3如果U1和U2都是线性空间V的子空间，若dimU1dimU2，而且U1U2，证明：U1U2。证明：因为dimU1dimU2，故设
12Lr为空间U1的一组基，12Lr为空间U2的一组基
U2，有
12LLrX
而
12Lr12LrC，C为过渡矩阵，且可逆
于是
12LLrX12LLrC1X12LLrYU1
由此，得
U2U1

f
又由题设U1U2，证得U1U2。
111
4设
A


2
1
3

，讨论向量

234T
是否在
RA中。
315
11121112
解：构造增广矩阵

A





2
1
3

3



0
1
1

1
31540000
矩阵A与其增广矩阵秩相同，向量可由矩阵A的3个列向量线性表示，在列空间RA中。
5讨论线性空间P4x中向量P1x3x2x1，P22x3x23x，P34x3x25x2的线性
相关性。
102
解：P1
P2
P3

1x
x2
x311
31
5

1
1
2
4

而
102102
1
3
5



0
1
1

，该矩阵秩为
2
111000
1
2
4


0
0
0

所以向量组P1P2P3线性相关。
6设ARm
，证明dimRAdimNA
。证明：RALA1A2LA
，NAXAX0XR
假定dimRAr，且设A1A2LAr为RA的一组基则存在k1ik2iLkriir1L
，其中k1ik2iLkri不全为零使k1iA1k2iA2LkriArAi0ir1L
显然

f
k1r1

k2r
1

k1r2

k2r2

MM

kr
r
1

1

krr2

0
L

01

M0


M0

k1


k2


M

kr
0


N

A

M

01

上述
r个向量线性无关，而k1k2Lks110L0T，sr不为NA中的向量，否则与A1A2LAr
线性无关矛盾，故dimNA
r所以dimRAdimNA

1130
7设
A


2
1
21，求矩阵A的列空间RA和零空间NA。
1152
解：通过矩阵的行初等变换将矩阵A化为行阶梯形
11301130
A


2
1
2
1


0
1r