主成分分析法
一、主成分分析（pri
cipalcompo
e
tsa
alysis）也称为主分量分析，是由Holtelli
g于1933年首先提出的。主成分分析是利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标的多元统计分析方法。
二、应用背景：对同一个体进行多项观察时，必定涉及多个随机变量X1，X2，…，Xp，它们都是相关的一时难以综合。这时就需要借助主成分分析pri
cipalcompo
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ta
alysis来概括诸多信息的主要方面。我们希望有一个或几个较好的综合指标来概括信息，而且希望综合指标互相独立地各代表某一方面的性质。任何一个度量指标的好坏除了可靠、真实之外，还必须能充分反映个体间的变异。如果有一项指标，不同个体的取值都大同小异，那么该指标不能用来区分不同的个体。由这一点来看，一项指标在个体间的变异越大越好。因此我们把“变异大”作为“好”的标准来寻求综合指标。
例1、考察对象股票业绩（这里单个股票为观察个体）。（1）确定影响股票业绩主要因素：主营业务收入（X1），主营业务利润（X2）利润总额（X3），净利润（X4），总资产（X5），净资产（X6），净资产收益率（X7），每股权益（X8），每股收益（X9），每股公积金（X10），速动比率（X11）作为变量。因此对单个股票来说，用11个随机变量综合刻化。但这些因素过多，各因素区别不明显，有交叉反映。通过主成分分析，可降为少数几个综合指标加以刻化。（2）考察20支不同的股票。从数学角度看，每种影响因素是随机变量（Xi），观察一支股票便得到影响该股票的11个随机变量取值；观察20支股票，便得到了20×11的原始数据阵X20×11（略）。
三、问题：作为主成分？严格的数学定义？相应的性质有哪些？主成分取多少？
1、主成分的一般定义设有随机变量X1，X2，…，Xp，其样本均数记为X1，X2，…，Xp，样本
标准差记为S1，S2，…，Sp。首先作标准化变换xXXS
我们有如下的定义：1若Y1a11x1a12x2…a1pxp，a121a122a12p1，且使VarY1最大，则称Y1为第一主成分；2若Y2a21x1a22x2…a2pxp，a221a222a22p1，a21，a22，…，a2p垂直于a11，a12，…，a1p，且使VarY2最大，则称Y2为第二主成分；
f3类似地，可有第三、四、五…主成分，至多有p个。
2、主成分的性质：Y1，Y2，…，Yp具有如下几个性质
1主成分间互不相关，即对任意i和j，Yi和Yj的相关系数
CorrYi，Yj0
ij
2组合系数ai1，ai2，…，aip构成的向量为单位向量，
a
2i1

a
2i2



a
2ip
1
3各主成分的方差是依次递减的r