2016年全国高考数学试题分类汇编：圆锥曲线（答案及解析）
1、（2016年北京高考）已知椭圆
C：xa
22

y2b2
1
（ab0）的离心率为
32
，Aa0，B0b，O00，
OAB的面积为1
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N
求证：ANBM为定值
【解析】⑴由已知，c31ab1，又a2b2c2，a22
解得a2b1c3
∴椭圆的方程为x2y214
⑵方法一：
设椭圆上一点
Px0
y0

，则
x024

y02
1
直线PA：
y

y0x2令x
x02

0，得
yM

2y0x02

∴BM12y0x02
直线PB：
y

y01x1令x0
y

0，得xN

x0y01
∴AN2x0y01
ANBM2x012y0y01x02
x02y02x02y02
x02
y01
x024y024x0y04x08y04x0y0x02y02
将
x024

y02
1代入上式得
AN

BM
4
故ANBM为定值
方法二：
设椭圆上一点P2cossi
，
1
f直线PAy

2
si
cos
2

x

2

令
x

0
，得
yM
si
1cos

∴BMsi
cos11cos
直线PB
y

si
1x1令2cos
y
0，得xN
2cos1si


∴AN2si
2cos21si

ANBM2si
2cos2si
cos1
1si

1cos
222si
2cos2si
cos1si
cossi
cos
4
故ANBM为定值
2、（2016年山东高考）平面直角坐标系xOy中，椭圆
C：
x2a2

y2b2
1a＞b＞0
的离心率是3，抛物线2
E：x22y的焦点F是C的一个顶点
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点
为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M（i）求证：点M在定直线上
（ii）直线l
与
y
轴交于点
G，记△PFG
的面积为S1
，△PDM
的面积为
S2
，求
S1S2
的最大值及取得最大值
时点P的坐标
【解析】Ⅰ由离心率是3，有a24b2，2
2
f又抛物线
x2

2y
的焦点坐标为
F0
1
，所以b

1
，于是a
1，
2
2
所以椭圆C的方程为x24y21．
Ⅱ（i）设P点坐标为P（mm2m0，2
由x22y得y′x，所以E在点P处的切线l的斜率为m，
因此切线l的方程为ymx－m2，2
设Ax1y1Bx2y2，Dx0y0，将ymx－m2代入x24y21，得
2（14m2x2－4m3xm2－10．
于是x1
x2
4m314m2
，x0

x1
x22
2m314m2
，
又y0

mx
－
0
m22

－m2214m2，
于是直线OD的方程为y－1x．4m
联立方程y－1x与xm，得M的坐标为Mm－1．
4m
4
所以点M在定直线y－1上．4
（ii）在切线l的方程为ymx－m2中，令x0，得y－m2，
2
2
即点G
的坐标为G0r