20192020年高考数学知识总结精华版极限学案新人教版
13极限知识要点
1⑴第一数学归纳法：①证明当
取第一个
0时结论正确；②假设当
k（kNk
0）
时，结论正确，证明当
k1时，结论成立⑵第二数学归纳法：设P
是一个与正整数
有关的命题，如果
①当
0（
0N）时，P
成立；
②假设当
k（kNk
0）时，P
成立，推得
k1时，P
也成立
那么，根据①②对一切自然数
0时，P
都成立2⑴数列极限的表示方法：
①
lim

a


a
②当
时，a
a⑵几个常用极限：
①limCC（C为常数）

②lim10kNk是常数
k
③对于任意实常数，
当a1时，lima
0

当a1时，若a1，则lima
1；若a1，则lima
lim1
不存在





当a1时，lima
不存在

⑶数列极限的四则运算法则：
如果
lima




a

limbb

b
，那么
①
lima



b




a

b
②
lima



b




a

b
③lima
ab0
b
b
特别地，如果C是常数，那么
limC

a




lim

C

lima




Ca

⑷数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当q1时，无穷等比数列的各项和为Sa1q1
1q
f（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限3函数极限；⑴当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数fx无限趋进于一个常数a，
就是说当x趋近于x0时，函数fx的极限为a记作limfxa或当xx0时，fxa
xx0
注：当xx0时，fx是否存在极限与fx在x0处是否定义无关，因为xx0并不要求xx0（当然，fx在x0是否有定义也与fx在x0处是否存在极限无关函数fx在x0
有定义是limfx存在的既不充分又不必要条件）
xx0
如
Px

x
1x1
x
x
1
1
在
x
1
处无定义，但
lim
x1
Px
存在，因为在
x
1
处左右极限均等于零
⑵函数极限的四则运算法则：
如果limfxalimgxb，那么
xx0
xx0
①limfxgxab
xx0
②limfxgxab
xx0
③limfxab0xx0gxb
特别地，如果C是常数，那么
limCfxClimfx
xx0
xx0
limfx
limfx
（
N）
xx0
xx0
注：①各个函数的极限都应存在
②四则运算法则可推广到任意有限个极r