空间解析几何一．旋转曲面的方程1在曲线C的方程fyz0中将y改成x2y2便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程fx2y2z02曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为
fyx2z20
22练习1将zOx坐标面上的双曲线x2z21分别绕x轴和z轴旋转一周求所生成的旋转曲ac
面的方程
二．柱面平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面定曲线C叫做柱面的准线动直线L叫做柱面的母线练习2方程xyR在空间直角坐标系中表示什么曲面？它的母线平行于哪个轴？它的准线是什么？
222
三．空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线设Fxyz0和Gxyz0是两个曲面方程它们的交线为C因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程所以应满足方程组
Fxyz0Gxyz0
反过来如果点M不在曲线C上那么它不可能同时在两个曲面上所以它的坐标不满足方程组因此曲线C可以用上述方程组来表示上述方程组叫做空间曲线C的一般方程
za2x2y2练习3方程组表示怎样的曲线？xa2y2a222
四．平面的一般方程方程AxByCzD0称为平面的一般方程其中xyz的系数就是该平面的一个法线向量
的坐标即
ABC
fD平面过原点
BC法线向量垂直于x轴平面平行于x轴
AC法线向量垂直于y轴平面平行于y轴
AB法线向量垂直于z轴平面平行于z轴
0C法线向量垂直于x轴和y轴平面平行于xOy平面
A0法线向量垂直于y轴和z轴平面平行于yOz平面
B法线向量垂直于x轴和z轴平面平行于zOx平面练习4求通过x轴和点431的平面的方程
五．平面的点法式方程Axx0Byy0Czz00是由平面上的一点M0x0y0z0及它的一个法线向量
ABC确定的所以此方程叫做平面的点法式方程练习5求过三点M1214、M2132和M3023的平面的方程
六．直线的对称式方程或点向式方程已知直线L通过点M0x0y0x0且直线的方向向量为m
pxx0yy0zz0叫做直线的对称式方程或点向式方程m
p设
xx0yy0zz0tm
p
xx0mtyy0
tzz0pt
得方程组
此方程组就是直线的参数方程
xyz1练习6用对称式方程及参数方程表示直r