1．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PAPD，AB4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角BPDA的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【分析】（1）设AC∩BDO，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角BPDA的大小；
（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直
线MC与平面BDP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：如图，设AC∩BDO，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD平面PBD，平面PBD∩平面AMCOM，
∴PD∥OM，则
，即M为PB的中点；
（2）解：取AD中点G，∵PAPD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCDAD，∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PAPD，AB4，得D（2，0，0），A（2，0，0），P（0，0，），C（2，
f4，0），B（2，4，0），M（1，2，），
，
．
设平面PBD的一个法向量为
，
则由
，得
，取z，得
．
取平面PAD的一个法向量为
．
∴cos＜＞

．
∴二面角BPDA的大小为60°；
（3）解：
，平面BDP的一个法向量为
．
∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为cos＜
＞


．
【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．
2．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角CEMN的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线
f段AH的长．
【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所r