第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．12两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．推导并理解两角和与差的余弦、正弦、正切公式，掌握公式的结构特征．2．灵活掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用，并运用之求值与证明．
基础梳理
一、两角和的余弦公式
将－β代替公式cosα－β＝cosαcosβ＋si
αsi
β中的β，得到
cosα－－β＝cosαcos－β＋si
αsi
－β，即cosα＋β＝cos_αcos_
β－si
_αsi
_β，这就是两角和的余弦公式．
练习1：cos45°＋30°＝
6－4
2．
练习2：cos20°cos70°－si
20°si
70°＝0．
思考应用
1．两角和与差的余弦公式的适用范围及公式的特征有哪些？
解析：1适用范围：没有限制条件，α、β、α＋β、α－β均为任意角，可以是数、
字母和代数式．
2公式特征：同名异号同名：两同名三角函数相乘；异号：公式左右加减号相反．
二、两角和与差的正弦公式
fsi
α＋β＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－α－β
＝cosπ2－αcosβ＋si
π2－αsi
β
＝si
αcosβ＋cosαsi
β，
即si
α＋β＝si
_αcos_β＋cos_αsi
_β，
这就是两角和的正弦公式．
以－β代替公式si
α＋β＝si
αcosβ＋cosαsi
β中的β，得到
si
α＋－β＝si
αcos－β＋cosαsi
－β＝si
αcosβ－cosαsi
β，即si
α－β＝si
_αcos_β－cos_αsi
_β，
这就是两角差的正弦公式．
6＋2练习3：si
60°＋45°＝4．
6－2练习4：si
60°－45°＝4．
思考应用2．两角和与差的正弦公式的适用范围及公式的特征有哪些？
解析：1适用范围：没有限制条件，α、β、α＋β、α－β均为任意角，可以是数、字母和代数式．
2公式特征：“异名同号”异名：两异名三角函数相乘；同号：公式左右加减号相同．
三、两角和与差的正切公式
由于ta
α
＋β
＝scio
sαα
＋β＋β
＝csois

αα
coscos
ββ
＋cos－si

αα
si
si

ββ
，
若cosαcosβ≠0，将上式分子、分母同除以cosαcosβ，
得到
ta
α
＋β
＝1t－a
taα

＋ta
αta

ββ
，
这就是两角和的正切公式．
以－β
代替公式
ta
α
＋β
＝1t－a
taα

＋ta
αta

ββ
中的
β
，
得到
ta
α
＋－β
＝ta
α
1－ta

＋ta
－βαta
－β
＝1t＋a
taα

－ta
αta

ββ
，
即
ta
α
－β
＝1t＋a
taα

－ta
αta

ββ
，这就是两角差的正切公式．
f练习5：1t＋a
ta4
5°45－°ttaa
1155°°＝33．思考应用3．两角和与差的正切公r