的极值解：y′22xx2241x
332xx233xxx
由y′0得x1由33x2x得x0或x2
当x变化时y′、y的变化情况如下表：
x
∞0
0
01
y′

不存在

y
极小值
10极大值
小学初中高中努力大学
12
2不存在极小值
2∞
f小学初中高中努力大学
∴当x0时，y极小值0当x1时，y极大值1x2时y极小值0
类题演练2若fxx33ax23a2x1有极大值和极小值，求a的取值范围解：fx为三次函数f′x为二次函数要使fx既有极大值又有极小值，需f′x0有两个不相等的实数根，从而有Δ2a24a20，解得a1或a2
变式提升2如果函数fxax3bx2cxd满足b23ac0a≠0求证：函数fx无极值证明：f′x3ax22bxc当a0时，∵Δ4b212ac0∴f′x0恒成立，fx在∞∞内单调递增fx无极值当a0时，∵Δ4b212ac0∴f′x0恒成立，fx在∞∞内单调递减，fx无极值
类题演练3设x1与x2是函数fxal
xbx2x的两个极值点试确定常数a和b的值
解：f′xa2b1x
∵f′1f′20
a2b10
∴

a2

4b

1

0
解得
ab


2316
∴fx2l
x1x2x36
变式提升3设a0
证明：fxaxb取得极大值和极小值的点各1个x21
证明：f′xax212xaxbx212
小学初中高中努力大学
f小学初中高中努力大学
ax22bxa令f′x0即ax22bxax212
0①
∵Δ4b24a20∴方程①式有两个不相等的实根，记为x1、x2，不妨设x1x2则有f′xaxx1xx2f′x、fx的变化情况如下表：
x
∞x1
x1
f′x

0
x1x2
x2
x2∞
0

fx
极小
极大
由表可见，fx取极大值和极小值的点各一个
小学初中高中努力大学
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