第十一讲二元函数的极值
要求：明白得多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。
问题提出：在实际问题中，往往会碰到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有紧密的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题．
一．二元函数的极值概念设函数zfxy在点x0y0的某个邻域内有概念，关于该邻域内的所有xyx0y0，若是总有fxyfx0y0，那么称函数zfxy在点x0y0处有极大值；若是总有fxyfx0y0，那么称函数zfxy在点x0y0有极小值．
函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．
例1．函数zxy在点00处不取得极值，因为在点00处的函数值为零，而在点00的任一邻域内总
有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．
例2．函数z3x24y2在点00处有极小值．
因为对任何xy有fxyf000．
从几何上看，点000是开口朝上的椭圆抛物面z3x24y2的极点，曲面在点000处有切平面z0，
从而取得函数取得极值的必要条件．定理1（必要条件）
设函数zfxy在点x0y0具有偏导数，且在点x0y0处有极值，那么它在该点的偏导数必然为零，
即fxx0y00，fyx0y00．
几何说明
假设函数zfxy在点x0y0取得极值z0，那么函数所表示的曲面在点x0y0z0处的切平面方程为
zz0fxx0y0xx0fyx0y0yy0
是平行于xoy坐标面的平面zz0．
类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为
fxx0y0z00，fyx0y0z00，fzx0y0z00
说明上面的定理尽管没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要解方程组
fxx0y00

f
y
x0

y0


0
，求得解x1y1x2y2x
y
，那么极值点必包括在其中，这些点称为函数
zfxy的驻点．
f注意1．驻点不必然是极值点，如zxy在00点．
如何判别驻点是不是是极值点呢？下面定理回答了那个问题．定理2（充分条件）
设函数zfxy在点x0y0的某邻域内持续，且有一阶及二阶持续偏导数，又fxx0y00，fyx0y00，
令fxxx0y0A，fxyx0y0B，fyyx0y0C，那么（1）当ACB20时，函数zfxy在点x0y0取得极值，且当A0时，有极大值fx0y0，当
A0时，有极小值fx0y0；（2）当ACB20时，函r