考点32空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
12019全国卷Ⅱ理科T7同2019全国卷Ⅱ文科T7设αβ为两个平面则α∥β的充要条件是
Aα内有无数条直线与β平行


Bα内有两条相交直线与β平行
Cαβ平行于同一条直线
Dαβ垂直于同一平面
【命题意图】考查充要条件的判断以及线面平行的判断属于中档题
【解析】选B当α内有无数条直线与β平行也可能两平面相交故A错同样当αβ平行于同一条直线或αβ垂直于同一平面
时两平面也可能相交故CD错由面面平行的判定定理可得B正确
22019全国卷Ⅲ理科T8同2019全国卷Ⅲ文科T8如图点N为正方形ABCD的中心△ECD为正三角形平面ECD⊥平面
ABCDM是线段ED的中点则

ABMEN且直线BMEN是相交直线
BBM≠EN且直线BMEN是相交直线
CBMEN且直线BMEN是异面直线
DBM≠EN且直线BMEN是异面直线
【命题意图】本题考查空间中线段的长度、直线的位置关系的判断意在考查考生空间直线的相关概念、余弦定理的应用求解
能力
【解析】选B因为直线BMEN都是平面BED内的直线且不平行即直线BMEN是相交直线设正方形ABCD的边长为2a
则由题意可得DE2aDMaDN√2aDB2√2a根据余弦定理可得BM2DB2DM22DBDMcos∠BDE9a24√2a2cos
∠BDEEN2
DE2DN22DEDNcos∠BDE6a24√2a2cos∠BDE所以BM≠EN
二、解答题
32019全国卷Ⅲ理科T19图1是由矩形ADEBRt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形其中AB1BEBF2∠
FBC60°将其沿ABBC折起使得BE与BF重合连接DG如图2
1证明图2中的ACGD四点共面且平面ABC⊥平面BCGE
2求图2中的二面角BCGA的大小
【命题意图】本题考查空间中点、线、面的位置关系、面面垂直的证明向量方法在求二面角中的应用意在考查考生直观想象、
数学运算、逻辑推理的求解能力
【解析】1由已知得AD∥BECG∥BE所以AD∥CG故ADCG确定一个平面从而ACGD四点共面
由已知得AB⊥BEAB⊥BC故AB⊥平面BCGE
又因为AB平面ABC所以平面ABC⊥平面BCGE
f2作EH⊥BC垂足为H因为EH平面BCGE平面BCGE⊥平面ABC所以EH⊥平面ABC
由已知菱形BCGE的边长为2∠EBC60°可求得BH1EH√3
的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz
以H为坐标原点
则A110C100G20√3
10√3
210
设平面ACGD的法向量为
xyz
则
√30
即
20
所以可取
36√3
又平面BCGE的法向量可取为m010
√3
2
所以cos
m
因此二面角BCGA的大小为30°
42019全国卷Ⅲr