的数列有一致的形式。先变为a
1
12a
1，展开比较得3即
进一步
a
13
12a
3
4
a
13
142a
3
4
则数列a
3
4是a13148首项为a13148公比为2的等比数列，所以
a
3
482
12
2，a
2
23
4同样，形如a
1pa
q
r的递推数列，设a
1x
1ypa
x
y展开、
f第3页共12页
最全的待定系数法求递推数列通项
移项、整理，比较对应系数相等，列出方程

p
p1x1y
x
q
r
解得

xqp1
y

xrp1

qp12

rp1
即a
1

q
1p1
qp12

rp1
pa


q
p1
qp12

rp1
则数列
a



q
p1
qp12

p
r
1
是以
a1

qp1
qp12

r为首项，以p1
p
为公比
的等比数列。于是就可以进一步求出a
的通项。
同理，若a
1pa
f
其中f
是关于
的多项式时，也可以构造新的等比数列，
利用待定系数法求出其通项。比如当f
q
2r
s时，可设
a
1x
12y
1zpa
x
2y
z展开根据对应系数分别相等求解方程即可。
f
为
的三次、四次、五次等多项式时也能用同样的思路和方法进行求解。
而如果当f
是
的指数式，即f
q
r时，递推公式又将如何变形呢？
三a
1pa
rq
s型pqr0且p1q1pq
例题3在数列a
中，a11a
13a
2
试求其通项a
。
分析1：由于a
13a
2
与例题1的区别在于2
是指数式，可以用上面的思路进行变形，在两边同时加上22
变为a
12
13a
32
即
a
12
13a
2
则数列a
2
是首项为3，公比为3的等比数列a
2
3
，则
a
3
2

f第4页共12页
分析2：如果将指数式先变为常数，两边同除2
1
a
12
1

3a
2
1

12

3a
22


12
就回到了我们的类型一。进一步也可求出a
3
2
。
最全的待定系数法求递推数列通项
例题4在数列a
中，a13a
13a
52
4试求a
的通项a
。
分析：若按例题3的思路2，在两边同时除以2
1，虽然产生了a
1、a
，但是又增加2
12
了4，与原式并没有大的变化。所以只能运用思路1，在两边同时加上102
整理2
1a
152
13a
52
4
进一步
a
152
123a
52
2
则数列a
52
2是首项为15，公比为3的等比数列
a
52
2153
153

即
a
53
2
2
启示：已知数列a
的首项，a
1pa
rq
spqr0且p1q1qp
1）当s0即a
1pa
rq
由例题3知，有两种思路进行变换，利用待定系数法构造首项和公比已知或可求的等比数列。
思路一：在两边同时除以q
1，将不含a
1和a
的项变为常数，即
a
1q
1

pq

a
q


rq

r
为前面的类型一，再用类型一的待定系数法思想可得数列

ar