202204
2010年清华大学自主招生数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1
设复数
w


a1

ii
2
，其中
a
为实数若
w
的实部为
2，则
w
的虚部为（
）
A、32
B、12
C、12
D、32
2设向量a，b满足ab1，abm，则atb（tR）的最小值为（）
A、2
B、1m2
C、1
D、1m2
3如果平面，，直线m，
，点A，B满足：，m，
，A，B，且AB与
所成的角为，mAB，
与AB所成的角为，那么m与
所成角的大小为（）
4
3
A、3
B、4
C、6
D、8
4在四棱锥VABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体AB1CD1的体积与四棱锥VABCD
的体积之比为（）
A、16
B、15
C、14
D、13
5在△ABC中，三边长a，b，c满足ac3b，则ta
Ata
C的值为（）22
A、15
B、14
C、12
D、23
6如图，△ABC的两条高线AD，BE交于H，其外接圆圆心为O，
过O作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G．则△OFG与△GAH
面积之比为（）
A、14
B、13
C、25
D、12
AEO
HG
BD
F
C
7设fxeax（a0）过点Pa0且平行于y轴的直线与曲线C：yfx的交点为Q，曲线C过点
Q的切线交x轴于点R，则△PQR的面积的最小值是（）
A、1
B、2e2
C、e2
D、e24
1
f202204
8
设双曲线C1：
x2a2

y24
k
（a2，k
0），椭圆C2：
x2a2

y24
1若C2的短轴长与C1的实轴长的比
值等于C2的离心率，则C1在C2的一条准线上截得线段的长为（）
A、22k
B、2
C、44k
D、4
9欲将正六边形的各边和各条对角线都染为
种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的
三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则
的最小值为（）
A、6
B、7
C、8
D、9
10设定点A、B、C、D是以O点为中心的正四面体的顶点，用表示空间以直线OA为轴满足条件BC的旋转，用表示空间关于OCD所在平面的镜面反射，设l为过AB中点与CD中点的直线，用表示空间以l为轴的180°旋转．设表示变换的复合，先作，再作．则可以表示为（）A、B、C、D、
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11（本题满分14分）
在△ABC中，已知2si
2ABcos2C1，外接圆半径R2．2
（1）求角C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．
12（本小题满分14分）设A，B，C，D为抛物线x24y上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称，BC平行于该抛
物线在点D处的切线l．设D到直线r