0
y2z2x0

0
，不妨设
z
1，可得
2

021
f3如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，动点P在棱A1B1上．
1当A1P＝12A1B1时，求CP与平面D1DCC1所成角的正弦值；2当A1P＝34A1B1时，求点C到平面D1DP的距离．解：如图，以D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系Dxyz
由题设知正方体棱长为4，则D0，0，0，A4，0，0，B14，4，4，A14，0，4，D10，0，4，C0，4，0．
1由题设可得P4，2，4，故C→P＝4，－2，4．∵AD⊥平面D1DCC1，∴D→A＝4，0，0是平面D1DCC1的法向量，设所求角为θ，
∴si
θ＝cos〈D→A，C→P〉＝DD→→AACC→→PP＝23
∴CP与平面D1DCC1所成角的正弦值为232∵D→C＝0，4，0，设平面D1DP的法向量
＝x，y，z，∵P4，3，4，D→D1＝0，0，4，D→P＝4，3，4．
则
DD→→DP＝1＝00，，即z4＝x＋0，3y＋4z＝0令x＝－3，则y＝4
f∴
的一个取值为－3，4，0．∴点C到平面D1DP的距离为d＝
D→C＝156
4如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝23
1求点A到平面MBC的距离；2求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．解：取CD中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD以O为原点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
易知OB＝OM＝3，则各点坐标分别为O0，0，0，C1，0，0，M0，0，3，B0，－3，0，
A0，－3，23．
1设平面MBC的一个法向量m＝x，y，z．
∵B→C＝1，3，0，B→M＝0，3，3，
mB→C＝0，∴
即x＋
3y＝0，
mB→M＝0，3y＋3z＝0
取z＝1，则m＝3，－1，1．
又A→B＝0，0，－23，
∴点A到平面MBC的距离
d＝
A→Bm
m
－2
＝5
3＝25
15
2设平面ACM的一个法向量
＝x1，y1，z1．∵C→M＝－1，0，3，C→A＝－1，－3，23，
∴
C→M＝0，即－x1＋3z1＝0，
C→A＝0，－x1－3y1＋23z1＝0
取z1＝1，则
＝3，1，1．又AB⊥平面BCD，∴A→B是平面BCD的一个法向量．
f∴cos〈
，A→B〉＝
AA→→BB
＝
－25×2
3＝－3
55
∴si
〈
，A→B〉＝1－－552＝255
∴平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值为255
fr