用构造法求数列的通项公式
在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差或者通过计算可以求出数列的首项公比来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列给出数列的首项和递推公式要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：
一．利用倒数关系构造数列。
例如：数列a
中，若a1

21a
1

1a

4
N
求
a

设b


1a

则b
1
b

4
即b
1b
＝４，
b
｝是等差数列。
可以通过等差数列的通项公式求出b
然再求后数列a
的通项。
练习：1数列
a

中，a
≠0，且满足a1

12
a
1

1
1
3




N

求
a

a

2数列
a

中，a1
1a
1

2a
a
2
求
a
通项公式。
3数列a
中a11a
0且a
2a
a
1a
10
2
N求a

二．构造形如b
a
2的数列。
例：正数数列
a

中，若a1

5
a2
1

a
2
4
N求a

解：设b
a
2则b
1b
4即b
1b
4
数列b
是等差数列，公差是4，b1a1225b
25
14294
即a
2294
a
294
1
7
N
练习：已知正数数列a
中，a12a
2a
1
2
N求数列a
的通项公式。
三．构造形如b
lga
的数列。
例：正数数列
a

中，若
a110且lga


12
lg
a
1




2
N求
a

解：由题意得：lga
lga
1

12
，
可设
b


lga
，
即b
1b
12

b

是等比数列，公比为12
，b1

lg10

1
b

11
12


12


1




N


即lga


1
12
a

1
1
102
练习：（选自2002年高考上海卷）
数列a
中，若a13a
1a
2
是正整数，求数列a
的通项公式。
四．构造形如b
a
m的数列。
例：数列a
中，若a16a
12a
1求数列a
的通项公式。
解：a
112a
2即a
112（a
1）
设b
a
1
则b
2b
1
则数列b
是等比数列，公比是2首项b１a１1＝7
b
72
1即a
172
1
a
72
11，
N
构造此种数列，往往它的递推公式形如：
a
1ca
dc1和S
a
2的形式。
如：a
1＝ca
d设可化成a
1xca
xa
1ca
c1x
用待定系数法得：c1x＝d
f∴xdc1
又如：Ｓ
a
2则Ｓ
1a
1
1二式相减得：Ｓ
－Ｓ
1a
－a
1１，即a
a
－a
1１，∴2a
－a
1１，a
1a
1122如上提到b
a
＋1da
1c1
练习：1数列a
满足a
13a
2求a
2数列a
满足Ｓ
a
2
1求a
五．构造形如b
a
1r