2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答
（2017年4月9日）
选择题答案123456AABDCD
填空题答案
12345
6
78
2489525041242410145
一、选择题
1．集合A2017，Bxx22Ax2A，则集合B的所有元素之积为
（A）36．
（B）54．
（C）72．
（D）108．
答：A．
解：由x22A，可得x24，2，3，9，即x2，2，3，3．
又因为x2A，所以x2，x3，故x2，2，3，3．
因此，集合B22233，3．
所以，集合B的所有元素的乘积等于22233336．
2．已知锐角△ABC的顶点A到它的垂心与外心的距离相等，则ta
BAC2
（A）3．3
（B）2．2
（C）1．
（D）3．
答：A．
解：作锐角△ABC的外接圆，这个圆的圆心O在形内，高AD，CE相交于点H，锐角△ABC
的垂心H也在形内．
A
连接BO交⊙O于K，BK为eO的直径连接AK，CK．
因为AD，CE是△ABC的高，∠KAB，∠KCB是直径BK
K
上的圆周角，所以∠KAB∠KCB90°．于是KACE，KCAD，
E
因此AKCH是平行四边形．
所以KCAHAO1BK．
2
B
在直角△KCB
中，由
1
KC
BK，得∠BKC60°，所以∠
2
O
H
D
C
BAC∠BKC60°．
f故ta
BACta
30°3．
2
3
3．将正奇数的集合1357…从小到大按第
组2
1个数进行分组：1，357，911
131517，…，数2017位于第k组中，则k为
（A）31．
（B）32．
（C）33．
（D）34．
答：B
解：数2017是数列a
2
1的第1009项．设2017位于第k组，则
135…2k1≥1009，且135…2k3＜1009．
即
k
是不等式组
k2k
1009121009
的正整数解，解得
k
32，所以
2017
在第
32
组中．
4．如图，平面直角坐标系xOy中，AB是函数y1在第I象yx
限的图象上两点，满足∠OAB90°且AOAB，则等腰直角△OAB的面积等于
1
y
x
A
（A）1．（B）2
答：D．
2．（C）3．（D）5．
2
2
2
B
O
x
解：依题意，∠OAB90°且AOAB，∠AOB∠ABO45°．过点A做y轴垂线交y轴于点C，
过点B做y轴平行线，交直线CA于点D．
易见△COA≌△DAB．
y
设点Aa1，则点Ba11a．
a
aa
因为点
B
在函数
y

1x
的图象上，所以a

1a

1a

a1，即
1a2

C
1
y
x
ADB
a21．
O
x
因此
S△ABC

12
OA2
12

1a2

a2

12
1a2

a22

4

5．2
5．已知fxx5a1x4a2x3a3x2a4xa5，且当m1234时，fm2017m，则f10f5（A）71655．（B）75156．（C）75615．（D）76515．答：C．解：因为当m1234时，fm2017m，所以1234是方程fx2017x0的四个实根r