§88
立体几何中的向量方法Ⅱ求空间角、距离
2014高考会这样考面距是重点．复习备考要这样做
1考查用向量方法求空间角的大小；2考查简单的空间距离的计算点
1掌握空间角的定义、范围，掌握求空间角的向量方法；2会利用向量
方法对距离进行转化．
1．空间向量与空间角的关系1设异面直线l1，2的方向向量分别为m1，2，l1与l2所成的角θ满足cosθ＝cosm1，lm则〈m2〉2设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，
，则直线l与平面α所成角θ满足si
θ＝cos〈m，
〉3求二面角的大小1°如图①，AB、CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ→→＝〈AB，CD〉．
2°如图②③，
1，
2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈
1，
2〉或－cos〈
1，
2〉．2点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，
为平面α的法向量，则B到→AB
平面α的距离d＝
难点正本疑点清源1．向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．
f2．利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的向量
1，
2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量
1，
2的夹角是相等，还是互补．3．求点到平面距离的方法：①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②等体积法，转化为求三棱锥的高；③等价转移法；④法向量法．
1．若平面α的一个法向量为
＝411，直线l的一个方向向量为a＝－2，－33，则l与α所成角的正弦值为___________．答案41133
解析∵
a＝－8－3＋3＝－8，
＝16＋1＋1＝32，a＝4＋9＋9＝22，－8411
a∴cos〈
，a〉＝＝＝－
32×22a33又l与α所成角记为θ，即si
θ＝cos〈
，a〉＝41133
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________．答案30°解析由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°∴直线l与平面α所成，的角为90°－60°＝30°3．从空间一点P向二面角αlβ的两个面α，β分别作垂线PE，PF，垂足分别为E，F，若二面角αlβ的大小为60°，则∠EPF的大小为__________．答案60°120°或4如图所示，在空间直角坐标系中，有一r