2015年四川高考理科数学第21题试题分析
内江六中王锋
2015年普通高考理科数学四川卷依然遵循《考试大纲》及《考试说明四川卷》要求，保持了近几年的四川卷命题风格，在题型、题量、难度方面保持了相对稳定，立足现行教材，回归数学本质，重视基础知识、基本技能的考查，强调通性通法，注重能力立意，命题命制立足学科主干知识，将知识、方法、能力的考查融为一体，通过适度联系与综合等方式，在知识交汇处考查学生的数学思维方法和能力，同时试题在稳定中追求创新，有利于考查学生的数学素养与学习潜能，整个试卷布局合理，难度适中，有较好区分度，无偏题、怪题，有利于科学选拨人才，维护社会公平与稳定。下面就21题谈一谈个人的不成熟看法，有不妥之处还望各位批评指正！
一．试题呈现
21（本小题14分）已知函数fx2xal
xx22ax2a2a，其中
a0。
（1）设gx是fx的导函数，讨论gx的单调性；
（2）证明：存在a01，使得fx0在区间1内恒成立，且fx0在
区间1内有唯一解。
本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想。
二．试题评价第21题在素材选择、情景设置和设问方式上相比往年有所创新，和2014年最后一题类似，考查二阶导数和分类讨论，考查学生的探究意识，应用意识和创新意识，对考生综合与灵活运用所学数学知识、思想方法，进行独立思考分析，创造性的解决问题有较高且合理的要求。同时第21题对数学思维的灵活性、深刻性、创造性都有较高要求，具有一定的难度，解答这些问题，需要具有较强的分析问题、探究问题和解决问题的能力。展示了数学学科的抽象性和严谨性，要求考生具有高层次的理性思维，考生解答时可以采用“联系几何直观探索解题思路提出合情猜想构造辅助函数结合估算精算进行推理证明”的思路，整个解答过程与数学研究的过程基本一致，能较好地促进考生在数学学习的过程中掌握数学知识、探究数学问题和发现数学规律。这些试题具有立意深远、背景深刻、设问巧妙等特点，富含思维价值，体现了课程改革理念，是检测考生理性思维广度、深度和学习潜能的良好素材。这样的设计，对考生评价合理、科学，鼓励积极、主动、探究式的学习，有利于引导中学数学教学注重提高学生的思维能力、发展应用意识和创新意识，对全面深化课程改革、提高中学数学教学质r