一．常用公式
1
1．
kk1
1k2
1kk1
用放缩法证明不等式的方法与技巧
2．
2
1
2
kk1kkk1
3．2kk2k4
4．123k2kk2
5．
k1！
12
（k
1
1！
1k！
6．abab
二．放缩技巧
所谓放缩的技巧：即欲证AB，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使ACB，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”
常用的放缩技巧
（1）若t0ataata
（2）
1
，2
1，
11
1，
1
2
（3）
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
（4）2
1
2
21
2
2
1
1
1
（5）若abmR，则aaaambbmbb
（6）1
12
13
1
1
12
122
12
1
（7）1
122
1
32
1
2
111111
223
1
1（因为
1
2
1
1
）
（7）1111111
1
1
2
3
2
1
1
1
1
或1111111
1
1
2
3
2
2
2
2
2
2
（8）1111111
等等。
23
三．常见题型（一）．先求和再放缩
1．设
S
12
16
112
1
1
，求证：
S
1
2．设b
1
（
N），数列b
b
2的前
项和为T
，求证：T
34
1
f例1求
2的值
k14k21
例
2求证1
132
152
2
112
71
2622
1
例
3
求证14
116
136
14
2
12
14
例
4
求证：1
14
19
1
2
53
例
5已知a
4
2
T
a1
2
a2a
求证T1
T2
T3
T
32
直接放缩1、放大或缩小“因式”：
例1
设数列a
的前
项和为S
，对任意的正整数
，都有a
5S
1成立，记b
4a
1a
N。
（I）求数列b
的通项公式；
（II）记c
b2
b2
1
N，设数列
c
的前
项和为T
，求证：对任意正整数
都有T
32
；
2
f例2已知数列a
满足a11a
12a
1
N
（Ⅰ）求数列a
的通项公式；
（Ⅲ）证明：1112
N
a2a3
a
13
例
3设数列a
满足
a1
2a
1
a
1a
12
证明a
2
1对一切正整数
成立
例4已知数列a
满足a1
14
，
a
a
11
a
1
（
2
N）。2
（Ⅰ）求数列a
的通项公式；
（Ⅲ）设c
a
si
2
12
，数列c
的前
项和T
，求证：对
NT
47
。
3
f例5数列
x
由下列条件确定：x1
a
0，x
1
12
x
ax
N
．
（I）证明：对
2总有x
a；
II证明：对
2总有x
x
1
1．（2014浙江）已知数列a
和b
满足a1a2a3…a
（
∈N）．若a
为等比数列，且a12，b36b2．
（Ⅰ）求a
和b
；
（Ⅱ）设c
（
∈N）．记数列c
的前
项和为S
．
（i）求S
；（ii）求正整数k，使得对任意
∈N均有r
