22控制系统的时域数学模型
221线性元部件、线性系统微分方程的建立
用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是：⑴根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出变量；⑵从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组；⑶消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；⑷将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。下面举例说明建立微分方程的步骤和方法。例21RLC无源网络如图21所示，试列写输入电压ur与输出电压uc之间的微分方程。解这是一个电学系统，根据克希荷夫定律可写出
urtRitL
itc
dituctdt
（21）
ductdt
（22）
消去上两式的中间变量it，整理可得
LC
d2uctdutRCcucturt2dtdt
2ξTRC
（23）
假定RLC都是常数，则上式即为二阶线性常系数微分方程。令即
T2LC
TLCξRC2L
（24）
式中，T表示RLC网络的时间常数；ξ表示阻尼系数。将式（24）代入式（23）并整理，可得一标准形式为
d2uctdutT2ξTcucturt2dtdt
2
（25a）
22
f同样，若令ω

1（自然频率），可将（25a）表示为另一种标准形式T
（25b）
d2uctdut222ξω
cω
uctω
urt2dtdt
例22弹簧质量阻尼器系统如图22所示，其中，K为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数，m表示小车的质量。如果忽略小车与地面的摩擦，试列写以外力Ft为输入，以位移yt为输出的系统微分方程。解这是一个力学系统。首先对小车进行隔离体受力分析，如图23所示。在水平方向应用牛顿第二定律可写出
Ftf
dytd2ytKytmdtdt2mfξK2mK
26
若令：T
则可将式26写成如下标准形式
d2ytdytFtT2ξTyt2dtdtK
2
27例23试列写图24所示电枢控制式直流电动机的微分方程。图中，电枢电压uat为输入量，电动机转速
ωt为输出量。RaLa分别是电枢电路的电阻和电感，
Mct是折合到电动机轴上的总负载转矩。假设激磁电流
if为常值。
解这是一个电学力学系统。电枢控制式直流电动机是将输入的电能转换为机械能，其工作原理是，由输入的电枢电压uat在电枢回路中产生电枢电流iat，再由电流iat与激磁磁通相互作用对电机转子产生电磁转矩Mmt，从而拖动负载运动。电动机的微分方程可由r