武汉大学数学与统计学院数值分析实验报告
实验名称姓名关于正定矩阵cholesky分解的研究雷锦江班级05级数类2班学号实验时间2005310001742006年成绩12月16日
一、实验目的，内容四、数值结果及体会
二、相关背景知识介绍五、计算结果的分析
三、代码六、计算中出现的问题，解决方法
f一、实验目的，内容通过对正定矩阵cholesky分解问题的深入研究，掌握对矩阵进行cholesky分解的不同方法。同时对C语言的编程方法进行练习，在此基础上，学会使用数学软件matlab对相关问题进行处理。
二、相关背景知识介绍定理Cholesky分解如果AR

TGR
阵，满足AGG。


是对称正定的，则存在惟一的一个对角元全部大于零的下三角
证明由对称矩阵的LDM分解定理存在单位下三角阵L和对角阵Ddiagd1…d
使得ALDL由于dk0大于零，则矩阵GLd1…d
是对角元大于零的实下三角阵它同时满足AGG惟一
T
T
T
性由LDL分解的惟一性可推得。分解AGG被称为Cholesky分解G被称为Cholesky三角阵如果我们计算Cholesky分解然后解
T
T
三角形方程组Gyb和Gxy则bGyGGxGGxAx在上述定理中Cholesky分解的证明是构造性的然而可以通过利用方程AGG来得到计算
T
T
T
T
Cholesky三角阵的更有效的方法例：矩阵
22
是正定的
2102011511030120222330
常规Cholesky分解对于
阶正定矩阵A，可导出按列的次序来计算其Cholesky分解因子G的元素的计算公式。对第k12…，
列，
，ik1k2…
基于Gaxpy的Cholesky分解我们首先导出一个含有大量Gaxpy运算的Cholesky分解的实现方法比较等式AGG的第j列可
T
得
fAj也就是说GjjjAj
Gjkk
k1


Gjkk≡v
k1
j1
如果G的第j1列已知则可计算出v由中各元素间的相等关系推出Gj
jvj
vj
这是数乘的Gaxpy运算。于是得到基于运算Gaxpy的Cholesky分解计算方法Forj1
vj
Aj
jFork1j1vj
vj
GjkGj
kE
dGj
jvj

vj
E
d可以在计算过程中用G覆盖A的下三角部分算法Cholesky分解基于Gaxpy运算给出对称正定阵AR

TGR
满足AGG对所有i≥jGIj覆盖Aij


本算法计算出一个下三角阵
Forj1
Ifj1Aj
jAj
jAj
1j1Aj1j1E
dAj
jAj
jE
d本算法需
3flops
3
T
Ajj
基于外积的Cholesky分解另一种r