x可能是实数，也可能是复数。定理41对于充分可微的函数fx，x是函数fx的m重零点的充分必要条件是：
fxfxfm1x0，fmx0
定义43若方程fx0在区间ab内至少有一个根，则称ab为方程fx0的
有根区间。通常可用逐步（次）搜索法求方程的有根区间。
定理42若函数fx在区间ab上连续（即fCab），且fafb0，则方
程fx0在ab内至少有一个根。
定义44若在区间ab上只有方程fx0的一个根，则称ab为方程fx0的
隔根区间。
定理43若函数fx在区间ab上单调连续，且fafb0，则方程fx0在
ab内有且仅有一个根。
关于根的个数，由代数学基本定理知，高次代数方程的根（包括实根和复根）的个数与代数方程的次数相同；对于超越方程，可能没有根，也可能有一个或若干个根，甚至无穷多个根。
理论上已经证明，对于次数4的代数方程，它的根可以用根式表示，而次数5的代
数方程，它的根一般不能用根式表示，亦即不能用解析表达式来表示。因此对于一般的函数
方程fx0，一般来说，更不存在根的解析表达式，而在实际应用中，也不一定需要得
到求根的解析表达式，只要得到满足精度要求的根的近似值就可以了。求解非线性方程的根的问题大致可分为下面三个方面：
2
f（1）根的存在性。即方程有没有根？如果有根，有几个根？（2）根的分布，即求出有根区间。（3）根的精确化。即在已知一个根的近似值后，设法逐步把根精确化，直到满足精度为止。
§42逐步搜索法和二分法
421逐步搜索法
假设fx是定义在某区域内的连续函数，在区间ab有且仅有一个单根x，则逐步
搜索法的步骤如下：
（1）判断fa的符号：若fa0，则xa；若fa0，则不妨设fa0。（2）选择适当的步长hba，搜索一步，看fah的符号，若fah0，
则xah已找到。若fah0则可知xaah，这时可取a或ah作为x的
近似值。若fah0，则继续往前搜索一步，看fa2h的符号，直到fakh与
fak1h异号，则可知xxk1xk，其中xk1ak1h，xkakh，这时
可取xk或xk1作为x的近似值。
逐步搜索法的步长h的选择很难恰到好处，若h取得较大，则精度较差；若h取得足
够小，精度提高了，但计算量增加了许多。因此，如果精度要求较高的话，该方法不太经济。
例41求方程fxx3111x2388x4177的有根区间。
解：根据有根区间的定义，对方程的根进行搜索计算，结果如下表
x
0123456
fx符号r