第3讲最新考纲
平面向量的数量积
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
知识梳理1．平面向量的数量积1定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量abcosθ叫作a与b的数量积或内积，记作ab，即ab＝abcosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a＝02几何意义：数量积ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosθ的乘积．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝x1，y1，b＝x2，y2，θ为向量a，b的夹角．1数量积：ab＝abcosθ＝x1x2＋y1y2
22模：a＝aa＝x21＋y1
ab3夹角：cosθ＝ab＝
x1x2＋y1y2222x1＋y1x22＋y2
4两非零向量a⊥b的充要条件：ab＝0x1x2＋y1y2＝05ab≤ab当且仅当a∥b时等号成立x1x2＋y1y2≤3．平面向量数量积的运算律1ab＝ba交换律．2λab＝λab＝aλb结合律．3a＋bc＝ac＋bc分配律．辨析感悟1．对平面向量的数量积的认识
222x21＋y1x2＋y2
f1两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的结果是向量．×→22013湖北卷改编已知点A－11，B12，C－2，－1，D34，则向量AB→32在CD方向上的投影为－2×3若ab＞0，则a和b的夹角为锐角；若ab＜0，则a和b的夹角为钝角．×2．对平面向量的数量积的性质、运算律的理解4ab＝0，则a＝0或b＝0×5abc＝abc．×6ab＝aca≠0，则b＝c×感悟提升三个防范一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，如1；二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．设向量a，b的夹角为θ，当θ为锐角时，投影为正值；当θ为钝角时，投影为负值；当θ为直角时，投影为0；当θ＝0°时，b在a的方向上投影为b，当θ＝180°时，b在a方向上投影为－b，如2；当θ＝0°时，ab＞0，θ＝180°，ab＜0，即ab＞0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件，如3；三是ab＝0不能推出a＝0或b＝0，因为ab＝0时，有可能a⊥b，如4．
考点一
平面向量数量积的运算
【例1】12014威海期末考试已知a＝12，2a－b＝31，则ab＝A．2B．3C．4D．5
．
π22013江西卷设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为3，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方r