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由数列递推公式求通项公式的常用方法
作者：潘虹来源：《成才之路》2012年第34期
由数列的递推公式求通项公式，它是高考中的一个热点。求数列的通项公式一般是将原数列的递推公式进行适当变形，使问题得以转化，从而求出通项公式。现举例说明如下。
一、叠加法
例1：设数列a
满足a12，a
1a
3×22
1，求数列a
的通项公式
解：由已知，当
≥1时，a2a13×2，a3a23×23，a4a33×25，……，a
a
13×22（
1）13×22
3，a
1a
3×22
1，将以上
个式子相加，得a
1a
3×（22325…22
322
1）3×2×（21）22
12于是a
1a122
12，即a
122
122（
1）1，而a12，所以a
数列的通项公式为a
22
1小结：由本例可知，当数列的递推公式形如a
1a
f（
）时，可以使用叠加法求解。
二、叠乘法
已知数列a
，其中a11，a
1a
求这个数列的通项公式
解：由已知，得，则，，，…，将以上
1个式子相乘，得×××…××又a11，故a
小结：由本例可知，当数列的递推公式形如f（
）时，可以使用叠乘法求解
三、构造法
例3：在数列a
中，a11，s
14a
2，求这个数列的通项公式
解：∵a1s11，∴a2s2s14a1215，∵a
s
s
1（4a
12）（4a
22）4（a
1a
2），∴a
2a
12（a
12a
2），∴2，于是a
2a
1数列是以a22a13为首项、公比为2的等比数列∴a
2a
13×2（
1）13×2
2（
1），两边同时除以2
，∴，于是数列是首项为，公差为的等差数列∴（
1）×，即a
2
2（3
1）。小结：由本例可知，把原数列的递推公式进行适当变形。当数列的递推公式形如a
1pa
q
（p，q为常数）时，两边可同时除以q
1，构造出等差数列或等比数列，再运用等差数列或等比数列通项公式的求法，进而求出原数列的通项公式。
总之，遇到问题时要多思多想，从已知条件出发，运用恰当的方法进行转化，从而使问题得以解决。
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