名师总结
优秀知识点
绵阳市开元中学高2014级高三复习
《二项式定理》知识点、题型与方法归纳
制卷：王小凤
学生姓名：___________
一．知识梳理
1．二项式定理：a＋b
＝C0
a
＋C1
a
－1b＋…＋Cr
a
－rbr＋…＋C
b
∈N这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫a＋b
的二项展开式．其中的系数Cr
r＝01，…，
叫二项式系数．式中的Cr
a
－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Cr
a
－rbr2．二项展开式形式上的特点
1项数为
＋1
2各项的次数都等于二项式的幂指数
，即a与b的指数的和为

3字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由
逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第
一项起，次数由零逐项增1直到

4二项式的系数从C
0，C
1，一直到C
－1，C
3．二项式系数的性质
1对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C
r

C
r

2增减性与最大值：二项式系数Ck
，当k＜
＋21时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后

半部分是逐渐减小的；当
是偶数时，中间一项C
2取得最大值；当
是奇数时，中间两项

1

1
C
2C
2取得最大值．
3各二项式系数和：C
0＋C
1＋C
2＋…＋Cr
＋…＋C
＝2
；C0
＋C2
＋C4
＋…＝C1
＋C3
＋C5
＋…＝2
－1
一个防范
运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Cr
a
－rbr，注意a＋b
与b＋a
虽然相同，但具体到它
们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的
字母系数是两个不同的概念，前者只指Cr
，而后者是字母外的部分．前者只与
和r有关，
恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项
式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．
两种应用1通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．2展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质1对称性；2增减性；3各项二项式系数的和；
二．题型示例
【题型一】求xy
展开特定项
例1：1＋3x
其中
∈N且
≥6的展开式中x5与x6的系数相等，则
＝
A6
B7
C8
D9

！

！
解：由条件得C5
35＝C6
36，∴5！（
－5）！＝6！（
－6）！×3，
∴3
－5＝6，
＝7故选B
例
2：2014大纲
x－y
yx8的展开式中
x2y2的系数为________用数字作答
解：
x－y
yx8展开式的通项公式为
Tr＋1＝Cr8
xy8－r－
yxr＝1r
r