23分a1a2a

证明：①当
1时，显然成立；5分②假设当
k时，不等式成立，即a1a2ak则
k1时，
111k2，7分a1a2ak
fa1a2akak1a1a2akak1
1111a1a2akak1
111a1a2ak
1111a1a2ak1a1a2akak1111111a1ak1a2ak1ak1a1ak1a2ak1akak1
k2ak1
k22k1k12
14分由①②，不等式对任意正整数
成立15分20．（本题满分15分）（1）证明：1
方法1由1x
1C
xC
x
N
01
令x1，得C
C
C
2
N
3分
方法2数学归纳法①当
1时，显然成立；01②假设当
k时，CkCkCkk2kkN，
00iii1则当
k1时，由Ck1CkCk1CkCk10ik1Ckk1Ckk1
所以，
11Ck01Ck1Ckk1Ckk111Ck0Ck0CkCkCk2Ckk1CkkCkk12Ck0CkCkk22k2k1
由①②，等式对于任意
N恒成立7分方法3含
个元素的集合的子集个数按两种方式计算可证（方法1给4分，其他方法6分）（2）方法1kk1先证kC
C
1
21k


，（注意01）
kk
kk1
1
k
C
11
，
kk1
kk1kk1所以kC
C
1。9分
kkC
k
所以
12
01
1C
2C
C
C
1
C
1
C
101
1
C
1C
1C
1
2
1
11分
f方法2
1
由1x
1C
xC
x
N
2，
12
两边求导，得
1x
1C
2C
x
C
x
1，14分12
令x1，得C
2C
C
2
1
N且
215分
fr