2017年浙江省高中数学竞赛模拟试题1及参考答案
第一试
（时间：800920满分：120）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
1．已知函数
f
x

x2

ax

1x2

ax
bxR
x

0，若实数ab使方程
f
x

0有实根，则a2
b2
的
最小值是
2．在正三棱台ABCA1B1C1中，上底面积S△A1B1C112，下底面积S△ABC27．若底边BC到截面AB1C1的
距离等于三棱台的高，则S△AB1C1
3．从123100中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有
种
4．已知xy

2
2
z1

cosx2si
y2
cosy2si
x2
i，且
z1

2，若z2xyi
，则z2z1的取值范围是
．
5．函数fxyx4y42x2y2xy23x23y22x2y2的最小值为
6．设
x1

3
x


x
1

2


3
1
x
x
1
x


0
，则数列x

的通项公式为
7．如图，设PQ分别是两个同心圆（半径分别为64）上的动点．当PQ分别在圆上运动时，线段PQ的
中点M所形成的区域面积为
8．设a1a2a201022且a1a2
二、解答题：本大题共3小题，共56分
a20100，则a13a23

a32010
的最大值为
9（本小题满分16分）设复数z满足z12．证明：z311．
10（本小题满分20分）
给定整数a，设fxax3bx2cx，其中bcZ满足f11ff22
求出所有满足条件的函数fx．
11（本小题满分20分）
给定椭圆x2132

y252
1及点D100．
（1）求r的值使得对于椭圆的左顶点A，存在椭圆上的另两点M1M2，满足以D为圆心、r为半径的圆是
△AM1M2的内切圆；
（2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点N1N2，使得D是△AN1N2的内切圆，并确定此
时直线N1N2的方程．
f试（时间：9401210满分：180）一、（本小题满分40分）
已知△ABC的内心为I，△ABC的内切圆I切边BC于点D，△ABD△ACD的内心分别是JbJc，△AJbJc的外心为O．
求证：AOI三点共线．
二、（本小题满分40分）
设abcd
0且abcd
4．求证：
1a2
1b2

1c2

1d2

a2
b2
c2
d2
三、（本小题满分50分）
已知正整数
满足
2014
20141．
令A
kN1k
k1B
kA
k1A
C
kA
k1A

对任意kA
，记Sk
kA



，其中
x
表r