相似形的综合运用（二）
知识考点：
本节知识包括综合运用三角形相似的性质与判定定理，这是中考的必考内容，另外，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型。
精典例题：
【例1】如图已知，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上。
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长。（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长。（3）试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。
解：（1）∵SPQCS四边形PABQ，∴SPQCSABC12
又∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC
∴SPQCPC21，∴PC24218
SABCAC2
2
故PC22
（2）∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等
∴PC＋CQ＝PA＋AB＋QB＝1（△ABC的周长）＝62
又∵PQ∥AB，∴CPCQ，即CP6CP，解得CP24
CACB
4
3
7
C
C
C
P
Q
P
Q
P
Q
A
B
例1图1
A
M
MB
例1图2
A
M
B
例1图3
（3）①依题意得（如图2）当∠MPQ＝900，PM＝PQ时，由勾股定理的逆定理得∠C＝900，∴△ABC的AB
边上的高为12，设PM＝PQ＝x5
∵PQ∥AB，△CPQ∽△CAB，∴
x

125

x
，解得
x

60
，即
PC

60
512
37
37
5
当MQP900，QPQM时，同理可得PC6037
②依题意得（如图3）当∠PMQ＝900，MP＝MQ时，由等腰直角三角形的性质得：M到PQ的距离为1PQ，2
设PQ＝x，由PQ∥AB可得△CPQ∽△CAB，所以有：
fx

125

12
x
，解得
x

120
，即
PQ

120
512
49
49
AA
5【例2】如图，△ABC≌△ABC，∠C＝∠C＝900，
AC＝3cm，AB＝5cm，
先将△ABC和△ABC完全重合，再将△ABC固定，△ABCB每秒1cm的速度平行移动，设移动x秒后，△ABC与△ABC
cm2，则y与x之间的函数关系式为
，
B
C
例2图
C沿CB所在的直线向左以
的重叠部分的面积为y
秒后重叠部分的面积为
3cm2。8
答案：y3x23x6（0≤x≤4）8
变式：操场上有一高高耸立的旗杆，如何测出它的高度，请你说出几种方法来。
探索与创新：
【问题】在△ABC中，D为BC边上的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O。某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
当AE11时，有AO22（如图1）
AC211
AD321
当AE11时，有AO22（如图2）
AC312
AD422
当AE11时，有AO22（如图3）
AC413
AD523
在图4中，当AEr