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等差数列与等比数列的综合问题
●知识梳理（一）等差、等比数列的性质1等差数列a
的性质（1）amak（m－k）d，d
amakmk
（2）若数列a
是公差为d的等差数列，则数列λa
b（λ、b为常数）是公差为λd的等差数列；若b
也是公差为d的等差数列，则λ1a
λ2b
（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1dλ2d（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，akm，ak2m，组成的数列仍为等差数列，公差为md（4）若m、
、l、k∈N，且m
kl，则ama
akal，反之不成立（5）设Aa1a2a3a
，Ba
1a
2a
3a2
，Ca2
1a2
2a2
3a3
，则A、B、C成等差数列（6）若数列a
的项数为2
（
∈N），则S偶－S奇
d，（a
、a
1为中间两项）；若数列a
的项数为2
－1（
∈N），则S奇－S偶a
，
S偶S奇

a
1a

，S2
（a
a
1）
S偶S奇


1，S2
－1（2
－1）a

（a
为中间项）2等比数列a
的性质－（1）amakqmk（2）若数列a
是等比数列，则数列λ1a
（λ1为常数）是公比为q的等比数列；若b
也是公比为q2的等比数列，则λ1a
λ2b
（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为qq2（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，akm，ak2m，组成的数列仍为等比数列，公比为qm（4）若m、
、l、k∈N，且m
kl，则ama
akal，反之不成立（5）设Aa1a2a3a
，Ba
1a
2a
3a2
，Ca2
1a2
2a2
3a3
，则A、B、C成等比数列，设Ma1a2a
，Na
1a
2a2
，Pa2
1a2
2a3
，则M、N、P也成等比数列（二）对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数成等差数列，可设为a－d，a，ad；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a－3d，a－d，ad，a3d三个数成等比数列，可设为
a，a，aq，若四个符号q
相同的数成等比数列，知其积，可设为
aa，，aq，aq33qq
f（三）用函数的观点理解等差数列、等比数列1对于等差数列，∵a
a1（
－1）dd
（a1－d），当d≠0时，a
是
的一次函数，对应的点（
，a
）是位于直线上的若干个点当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数若等差数列的前
项和为S
，则S
p
2q
（p、q∈R）当p0时，a
为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题－2对于等比数列：a
a1q
1可用指数函数的性质来理解当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数r